Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:vektory-napravlennye-otrezki [2016/09/02 23:14] – labreslav
+++ math-public:vektory-napravlennye-otrezki [2016/09/22 23:15] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+======Направленные отрезки======
+=====Определение=====
+Направленный отрезок -- это отрезок, одна граничная точка которого считается
+"началом", а другая -- "концом".
+=====Определение=====
+Длиной направленного отрезка $[\overrightarrow{AB}]$ называется длина отрезка $AB$.
+=====Определение=====
+Направленные отрезки называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
+=====Определение=====
+Направленные отрезки $[\overrightarrow{AB}]$ и $[\overrightarrow{CD}]$ сонаправлены,
+если найдётся такая прямая $a$, что, во-первых, они перпендикулярны
+этой прямой и, во-вторых, лучи $AB$ и $CD$ лежат по одну сторону от
+этой прямой.
+{{:math-public:126.jpg?direct&150|}}
+<hidden>
+**Определение 2**
+Направленные отрезки называются сонаправленными, если выполняется
+одно из двух следующих условий:
+  - отрезки лежат на одной прямой, и лучи, задаваемые этими отрезками в пересечении дают луч;
+  - отрезки лежат на параллельных прямых, и их концы лежат в одной полуплоскости относительно прямой, соединяющей начала направленных отрезков.
+|  {{:math-public:124-1.jpg?direct&150|}}  |  {{:math-public:124-2.jpg?direct&150|}}  |
+|  (рис. 1а)  |  (рис. 1б)  |
+**Определение 3**
+Направленные отрезки называются сонаправленными, если они лежат на
+параллельных прямых или на одной прямой, и при этом лучи, задаваемые
+этими направленными отрезками лежат по одну сторону от некоторой
+непараллельной им прямой, то есть в одной полуплоскости,
+ограниченной этой прямой.
+{{:math-public:125.jpg?direct&150|}}\\
+//(рис. 2)//
+**Замечание**
+Три предыдущих определения эквивалентны.
+</hidden>
+=====Определение=====
+Направленные отрезки называются противоположно направленными, если
+они лежат на параллельных прямых (или на одной прямой), но не
+сонаправлены.
+<hidden>
+**Определение**
+Направленные отрезки называются противоположно направленными, если
+выполняется одно из двух следующих условий:
+  - отрезки лежат на одной прямой, и лучи, задаваемые этими отрезками в пересечении дают отрезок, точку или пустое множество;
+  - отрезки лежат на параллельных прямых, и их концы лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, соединяющей начала направленных отрезков.
+{{:math-public:127-1.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:127-2.jpg?direct&150|}}
+**Замечание**
+Два предыдущих определения эквивалентны.
+</hidden>
+=====Теорема=====
+Два направленных отрезка сонаправленные с третьим, сонаправлены.
+{{:math-public:128.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Пусть $[\overrightarrow{AB}]$ и $[\overrightarrow{CD}]$
+сонаправлены с $[\overrightarrow{MN}]$.
+Докажем, что $[\overrightarrow{AB}]\upuparrows [\overrightarrow{CD}]$.
+Так как $[\overrightarrow{AB}]\upuparrows [\overrightarrow{MN}]$, то по
+определению найдется такая перпендикулярная им прямая $a$, от которой лучи $AB$ и $MN$ лежат по одну сторону.
+Точно так же для $[\overrightarrow{CD}]$ и $[\overrightarrow{MN}]$ найдётся
+перпендикулярная им прямая $b$, от которой лучи $CD$ и $MN$ лежат по
+одну сторону.
+Если прямые $a$ и $b$ не совпадают, то они параллельны (как перпендикулярные одной и той же прямой $MN$).
+Тогда из двух полуплоскостей, которые ограничены прямыми $a$ и $b$ и содержат луч
+$MN$, одна содержит другую.
+Будем считать, что это полуплоскость ограниченная прямой $a$.
+Эта полуплоскость содержит лучи $AB$, $CD$ и $MN$.
+Тем самым выполнено второе условие определения.
+Кроме того выполнено и первое условие, так как $[\overrightarrow{AB}]$ и $[\overrightarrow{CD}]$
+перпендикулярны прямой $a$.
+Поэтому $[\overrightarrow{AB}]\upuparrows [\overrightarrow{CD}]$.
+=====Определение=====
+Направленные отрезки называются равными, если они равны по длине и
+сонаправлены.