Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:vektory-napravlennye-otrezki

Направленные отрезки

Определение

Направленный отрезок – это отрезок, одна граничная точка которого считается «началом», а другая – «концом».

Определение

Длиной направленного отрезка $[\overrightarrow{AB}]$ называется длина отрезка $AB$.

Определение

Направленные отрезки называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Определение

Направленные отрезки $[\overrightarrow{AB}]$ и $[\overrightarrow{CD}]$ сонаправлены, если найдётся такая прямая $a$, что, во-первых, они перпендикулярны этой прямой и, во-вторых, лучи $AB$ и $CD$ лежат по одну сторону от этой прямой.

Нажмите, чтобы отобразить

Нажмите, чтобы скрыть

Определение 2 Направленные отрезки называются сонаправленными, если выполняется одно из двух следующих условий:

  1. отрезки лежат на одной прямой, и лучи, задаваемые этими отрезками в пересечении дают луч;
  2. отрезки лежат на параллельных прямых, и их концы лежат в одной полуплоскости относительно прямой, соединяющей начала направленных отрезков.
(рис. 1а) (рис. 1б)

Определение 3 Направленные отрезки называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой, и при этом лучи, задаваемые этими направленными отрезками лежат по одну сторону от некоторой непараллельной им прямой, то есть в одной полуплоскости, ограниченной этой прямой.


(рис. 2)

Замечание Три предыдущих определения эквивалентны.

Определение

Направленные отрезки называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых (или на одной прямой), но не сонаправлены.

Нажмите, чтобы отобразить

Нажмите, чтобы скрыть

Определение Направленные отрезки называются противоположно направленными, если выполняется одно из двух следующих условий:

  1. отрезки лежат на одной прямой, и лучи, задаваемые этими отрезками в пересечении дают отрезок, точку или пустое множество;
  2. отрезки лежат на параллельных прямых, и их концы лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, соединяющей начала направленных отрезков.

Замечание Два предыдущих определения эквивалентны.

Теорема

Два направленных отрезка сонаправленные с третьим, сонаправлены.

Доказательство

Пусть $[\overrightarrow{AB}]$ и $[\overrightarrow{CD}]$ сонаправлены с $[\overrightarrow{MN}]$.

Докажем, что $[\overrightarrow{AB}]\upuparrows [\overrightarrow{CD}]$.

Так как $[\overrightarrow{AB}]\upuparrows [\overrightarrow{MN}]$, то по определению найдется такая перпендикулярная им прямая $a$, от которой лучи $AB$ и $MN$ лежат по одну сторону.

Точно так же для $[\overrightarrow{CD}]$ и $[\overrightarrow{MN}]$ найдётся перпендикулярная им прямая $b$, от которой лучи $CD$ и $MN$ лежат по одну сторону.

Если прямые $a$ и $b$ не совпадают, то они параллельны (как перпендикулярные одной и той же прямой $MN$).

Тогда из двух полуплоскостей, которые ограничены прямыми $a$ и $b$ и содержат луч $MN$, одна содержит другую.

Будем считать, что это полуплоскость ограниченная прямой $a$.

Эта полуплоскость содержит лучи $AB$, $CD$ и $MN$.

Тем самым выполнено второе условие определения.

Кроме того выполнено и первое условие, так как $[\overrightarrow{AB}]$ и $[\overrightarrow{CD}]$ перпендикулярны прямой $a$.

Поэтому $[\overrightarrow{AB}]\upuparrows [\overrightarrow{CD}]$.

Определение

Направленные отрезки называются равными, если они равны по длине и сонаправлены.

math-public/vektory-napravlennye-otrezki.txt · Последние изменения: 2016/09/22 23:15 — labreslav