Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:vektory-umnozhenie-na-chislo [2016/09/20 09:00] – [Доказательство] labreslav
+++ math-public:vektory-umnozhenie-na-chislo [2016/09/20 09:01] (текущий) – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Определение произведения вектора на число=====
+Произведением вектора $\vec{a}\neq\vec{0}$ на число $x\neq0$
+называется такой вектор $x\vec{a}$, для которого выполняются два
+условия:
+  - $|x\cdot\vec{a}|=|x|\cdot|\vec{a}|$
+  - он сонаправлен с вектором $\vec{a}$, если $x>0$, и противоположно направлен вектору $\vec{a}$, если $x<0$
+Если же $\vec{a}=\vec{0}$ или $x=0$, то вектор $x\vec{a}=\vec{0}$
+(рис. \ref{pic138})
+{{:math-public:139a.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:139b.jpg?direct&150|}}
+=====Следствие=====
+  - $1\cdot \vec{a}=\vec{a}$ для любого вектора $\vec{a}$.
+  - $(-1)\vec{a}=-\vec{a}$ для любого вектора $\vec{a}$.
+  - Если $x\vec{a}=x\vec{b}$ и $x\neq0$, то $\vec{a}=\vec{b}$.
+  - Если $x\vec{a}=y\vec{a}$ и $\vec{a}\neq\vec{0}$, то $x=y$.
+====Доказательство====
+===Первое===
+По определению вектор $1\cdot \vec{a}$ по модулю равен
+$1\cdot|\vec{a}|=|\vec{a}|$, кроме того он сонаправлен с
+$\vec{a}$, так как $1>0$.
+===Второе===
+По определению вектор $(-1)\cdot \vec{a}$ по модулю равен
+$|-1|\cdot|\vec{a}|=|\vec{a}|$, кроме того он противоположно направлен с
+$\vec{a}$, так как $-1<0$, следовательно, это вектор $-\vec{a}$.
+===Третье===
+Если $x\vec{a}=x\vec{b}$, то
+$|x|\cdot|\vec{a}|=|x|\cdot|\vec{b}|$, и так как $x\neq0$, то
+$|\vec{a}|=|\vec{b}|$. Кроме того, если $x>0$, то вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$
+сонаправлены с $\vec{a}$, а если $x<0$, то они сонаправлены с
+$-\vec{a}$. Таким образом $\vec{a}=\vec{b}$.
+===Четвертое===
+Если $x\vec{a}=y\vec{a}$, то
+$|x|\cdot|\vec{a}|=|y|\cdot|\vec{a}|$, а так как
+$\vec{a}\neq\vec{0}$, то на $|\vec{a}|$ можно сократить,
+следовательно, $|x|=|y|$. А так как вектора $x\vec{a}$ и $y\vec{a}$ сонаправлены,
+то числа $x$ и $y$ одного знака. Следовательно, $x=y$.