Президентский ФМЛ №239

Произведением вектора $\vec{a}\neq\vec{0}$ на число $x\neq0$ называется такой вектор $x\vec{a}$, для которого выполняются два условия:

1. $|x\cdot\vec{a}|=|x|\cdot|\vec{a}|$
2. он сонаправлен с вектором $\vec{a}$, если $x>0$, и противоположно направлен вектору $\vec{a}$, если $x<0$

Если же $\vec{a}=\vec{0}$ или $x=0$, то вектор $x\vec{a}=\vec{0}$ (рис. \ref{pic138})

1. $1\cdot \vec{a}=\vec{a}$ для любого вектора $\vec{a}$.
2. $(-1)\vec{a}=-\vec{a}$ для любого вектора $\vec{a}$.
3. Если $x\vec{a}=x\vec{b}$ и $x\neq0$, то $\vec{a}=\vec{b}$.
4. Если $x\vec{a}=y\vec{a}$ и $\vec{a}\neq\vec{0}$, то $x=y$.

По определению вектор $1\cdot \vec{a}$ по модулю равен $1\cdot|\vec{a}|=|\vec{a}|$, кроме того он сонаправлен с $\vec{a}$, так как $1>0$.

По определению вектор $(-1)\cdot \vec{a}$ по модулю равен $|-1|\cdot|\vec{a}|=|\vec{a}|$, кроме того он противоположно направлен с $\vec{a}$, так как $-1<0$, следовательно, это вектор $-\vec{a}$.

Если $x\vec{a}=x\vec{b}$, то $|x|\cdot|\vec{a}|=|x|\cdot|\vec{b}|$, и так как $x\neq0$, то $|\vec{a}|=|\vec{b}|$. Кроме того, если $x>0$, то вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены с $\vec{a}$, а если $x<0$, то они сонаправлены с $-\vec{a}$. Таким образом $\vec{a}=\vec{b}$.

Если $x\vec{a}=y\vec{a}$, то $|x|\cdot|\vec{a}|=|y|\cdot|\vec{a}|$, а так как $\vec{a}\neq\vec{0}$, то на $|\vec{a}|$ можно сократить, следовательно, $|x|=|y|$. А так как вектора $x\vec{a}$ и $y\vec{a}$ сонаправлены, то числа $x$ и $y$ одного знака. Следовательно, $x=y$.