math-public:vidy-dvizhenij-osevaya-simmetriya
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
math-public:vidy-dvizhenij-osevaya-simmetriya [2016/05/05 11:40] – создано labreslav | math-public:vidy-dvizhenij-osevaya-simmetriya [2016/05/09 12:24] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ======Осевая симметрия====== | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Осевой симметрией относительно прямой $l$ называется такое преобразование плоскости, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Осевая симметрия в координатах===== | ||
+ | - Образ точки $X(x_0; | ||
+ | - Образ точки $X(x_0; | ||
+ | - Образ точки $X(x_0; | ||
+ | - Образ точки $X(x_0; | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | | ||
+ | ===Докажем первый пункт теоремы=== | ||
+ | Пусть $X' | ||
+ | |||
+ | Обозначим координаты точки $X' | ||
+ | |||
+ | Очевидно, | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим различные случаи расположения точки $X$ относительно прямой $l_1$. | ||
+ | |||
+ | Пусть $x_0>b$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $x' | ||
+ | |||
+ | Если $x_0=b$, то $x' | ||
+ | |||
+ | Если же $x_0<b$, то $x' | ||
+ | |||
+ | ===Докажем второй пункт теоремы=== | ||
+ | Пусть $X' | ||
+ | |||
+ | Обозначим координаты точки $X' | ||
+ | |||
+ | Очевидно, | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим различные случаи расположения точки $X$ относительно прямой $l_2$. | ||
+ | |||
+ | Пусть $y_0>a$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $y' | ||
+ | |||
+ | Если $y_0=a$, то $y' | ||
+ | |||
+ | Если же $y_0<a$, то $y' | ||
+ | |||
+ | ===Докажем третий пункт теоремы=== | ||
+ | Прямая $l_3$ образует равные углы с осями координат. | ||
+ | |||
+ | А так как движение сохраняет углы, а точка $O$ остаётся неподвижной при осевой симметрии относительно прямой $l_3$, то образом оси абсцисс при осевой симметрии $S_{l_3}$ является ось ординат, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Осевая симметрия является движением.. | ||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим осевую симметрию $S_{l}$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Введем систему координат таким образом, | ||
+ | |||
+ | Возьмём любые две точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, | ||
+ | |||
+ | По формуле расстояния между двумя точками | ||
+ | |||
+ | $$A' | ||
+ | |||
+ | Таким образом, | ||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Пусть точки $F_1$ и $F_2$ лежат по одну сторону от прямой $l$. Сумма расстояний $F_1P+PF_2$, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Пусть $F' | ||
+ | |||
+ | Пусть прямая $F_1F' | ||
+ | |||
+ | Тогда, так как $PF_2=PF' | ||
+ | |||
+ | Для любой точки $X$ прямой $l$, отличной от точки $P$, с учётом неравенства треугольника будет верно | ||
+ | |||
+ | Таким образом сумма $F_1P+PF_2$ будет наименьшей. | ||
+ | |||
+ | Докажем теперь, | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | |||
+ | Тогда $\angle 2=\angle 3$. | ||
+ | Но $\angle 1=\angle 3$, как вертикальные. Следовательно, | ||
+ |
math-public/vidy-dvizhenij-osevaya-simmetriya.1462437659.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/05/05 11:40 — labreslav