\section{Правильные многоугольники} \begin{dfn}\label{def30} Многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.\end{dfn} \begin{thm}[о центре правильного многоугольника]\label{122} В каждом правильном многоугольнике есть точка, равноудаленная от всех его сторон и от всех его вершин.\end{thm} \begin{proof}\ \par Рассмотрим правильный многоугольник. Обозначим $\alpha=\a A$. Проведем в нём биссектрисы углов $A$ и $B$. Пусть они пересекаются в точке $O$. Докажем, что Биссектрисы остальных углов данного многоугольника тоже проходят через точку $O$.\par Так как $OA$ и $OB$ – это биссектрисы, а углы правильного многоугольника равны, то $\a 1=\a 2=\a 3=\a 4=\frac{1}{2}\alpha$. Следовательно, треугольник $AOB$ равнобедренный, то есть $OA=OB$. Кроме того $\tri AOB=\tri BOC$ по первому признаку равенства ($OA=OB, AB=BC, \a 2=\a4$). Следовательно, $OB=OC$ и $\a 5=\a 3=\frac{1}{2}\alpha$. Таким образом $OC$ является биссектрисой угла $C$, а точка $O$ равноудалена от вершин $A, B$ и $C$. Аналогичные рассуждение теперь можно провести для вершины $D$, и потом по очереди для всех других вершин многоугольника.\par Таким образом точка $O$ равноудалена от всех вершин многоугольника, в силу равенства треугольников, кроме того точка $O$ равноудалена от всех сторон многоугольника, так как это точка пересечение биссектрис. \end{proof} \begin{sle}\label{sle122.1}\ Для любого правильного многоугольника существует вписанная и описанная окружность, причём их центры совпадает. Вписанная и описанная окружность для правильного многоугольника единственны. \end{sle} \begin{proof}\ \par Существование и совпадение центров вписанной и описанной окружности непосредственно следуют из теоремы \ref{122}.\par Докажем единственность. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например $A, B, C$. Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника можно описать только одну окружность.\par Теперь предположим, что в правильный многоугольник можно вписать окружность с центром $O$ и радиусом $OM$ и другую окружность с центром $O_1$ и радиусом $O_1M_1$. Тогда центр $O_1$ равноудалён от всех сторон многоугольника, следовательно, точка $O_1$ лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой $O$ пересечения этих биссектрис. Радиус окружности $O_1M_1$ равен расстоянию от точки $O$ до сторон многоугольника, то есть $OM$. Таким образом вторая окружность совпадает с первой. \end{proof} \begin{sle}\label{sle122.2} Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. \end{sle} \begin{proof}\ \par Утверждение следует из того, что радиус вписанной окружности является высотой равнобедренного треугольника $AOB$. \end{proof} \begin{thm}\label{123}\ Пусть $\alpha$ – это угол правильного $n$-угольника, а $\beta$ – угол между радиусами описанной окружности, проведёнными к соседним вершинам. Тогда выполняются следующие соотношения \begin{enumerate}
\item $\alpha=\frac{180^\circ(n-2)}{n},\ \beta=\frac{360^\circ}{n}$.
\item $a=2R\sin{\frac{\beta}{2}}=2R\cos{\frac{\alpha}{2}}$.
\item $a=2r\tg{\frac{\beta}{2}}=2r\ctg{\frac{\alpha}{2}}$.
\item $r=R\cos{\frac{\beta}{2}}=R\sin{\frac{\alpha}{2}}$.
\item $S=pr=\frac{1}{2}nr^2\sin{\beta}$.
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{116}
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{123}.}}\label{pic116}
\end{center}
\end{figure}
\begin{proof}\ \par
\begin{enumerate}
\item По теореме \ref{24} сумма углов $n$-угольника равна
$180\deg(n-2)$, следовательно, каждый угол будет равен
$\alpha=\frac{180^\circ(n-2)}{n}$. Кроме того полный угол $O$
разделён радиусами, проведёнными к вершинам многоугольника, на $n$
частей, следовательно, $\beta=\frac{360\deg}{n}$.\par
Проведем высоту $OM$ треугольника $AOB$. Так как треугольник
$AOB$ равнобедренный, то $\a AOM=\frac{\beta}{2}$, $AM=\frac{a}{2}$. Кроме того $\a
OAM=\frac{\alpha}{2}$. Из треугольника $AOM$ получаем $a=2r\tg{\frac{\beta}{2}}=2r\ctg{\frac{\alpha}{2}}$.
\item $\sin{\frac{\beta}{2}}=\cos{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{a}{2}}{R}$, следовательно, $a=2R\sin{\frac{\beta}{2}}=2R\cos{\frac{\alpha}{2}}$.
\item $\tg{\frac{\beta}{2}}=\ctg{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{a}{2}}{r}$, следовательно,
\item $\cos{\frac{\beta}{2}}=\sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{r}{R}$,
следовательно, $r=R\cos{\frac{\beta}{2}}=R\sin{\frac{\alpha}{2}}$.
\item Формула $S=pr$ следует из теоремы \ref{101}. C другой стороны $S=n\cdot S_{AOB}=n\cdot\frac{1}{2}R^2\sin{\beta}$ можно
\end{enumerate} \end{proof} \begin{sle}\label{sle123-1} Периметры правильных $n$-угольников относятся как радиусы описанных около них окружностей. \end{sle} \begin{proof}\ \par Рассмотрим два правильных $n$-угольника со сторонами $a_n$ и $a'_n$ соответственно. Используя формулы из пунктов $1$ и $2$ теоремы \ref{123} выпишем периметры $P_n$ и $P'_n$ данных многоугольников: $P_n=n\cdot a_n=n\cdot 2R\sin{\frac{180\deg}{n}}, P'_n=n\cdot a'_n=n\cdot 2R'\sin{\frac{180\deg}{n}}$. Следовательно, $\frac{P_n}{P'_n}=\frac{2R}{2R'}=\frac{R}{R'}$. \end{proof} \begin{thm}[правильный треугольник]\label{124}\ \begin{enumerate}
\item $\alpha=60^\circ$.
\item $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
\item $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
\item $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.
\item $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
\item $R=2r$.
\end{enumerate} \end{thm}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{118}
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{124}.}}\label{pic118}
\end{center}
\end{figure}
\begin{proof}\ \par \begin{enumerate}
\item $\alpha=\frac{180\deg}{3}=60\deg$.
\item
$S=\frac{1}{2}a^2\sin{60\deg}=\frac{1}{2}a^2\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
\item
$h=\frac{2S}{a}=\frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
\item
$r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3a}{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.
\item
$R=\frac{a^3}{4S}=\frac{a^3}{a^2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
\item $R=2r$, в силу предыдущих двух пунктов.
\end{enumerate} \end{proof} \begin{thm}[Квадрат]\label{125}\ \begin{enumerate}
\item $\alpha=90^\circ$.
\item $S=a^2$.
\item $d=a\sqrt{2}$.
\item $r=\frac{a}{2}$.
\item $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
\end{enumerate} \end{thm}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{119}
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{125}.}}\label{pic119}
\end{center}
\end{figure}
\begin{proof}\ \par Первые два пункта теоремы очевидны. Третий следует из теоремы Пифагора $d=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$. $r=\frac{S}{p}=\frac{a^2}{2a}=\frac{a}{2}$, $R=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. \end{proof} \begin{thm}[Правильный шестиугольник]\label{126}\ \begin{enumerate}
\item $\alpha=120^\circ$.
\item $R=a$, $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
\item $d_1=2a,\ d_2=a\sqrt{3}$
\item Малая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.
\item Противоположные стороны правильного шестиугольника
параллельны между собой, а также параллельны большой диагонали.
\item $S=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{117}
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{126}.}}\label{pic117}
\end{center}
\end{figure}
\begin{proof}\ \par
\begin{enumerate}
\item $\alpha=\frac{180\deg(6-2)}{6}=120\deg$.
\item Так как $BO$ и $CO$ -- биссектрисы, то $\a CBO=\a
BCO=60\deg$. Следовательно, треугольник $BOC$ равносторонний.
Значит $R=a, r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
\item $\a BOC+\a COD+\a DOE=3\cdot60\deg=180\deg$. Следовательно,
точки $B, O$ и $E$ лежат на одной прямой, значит $BE$ --
диагональ, и $BE=2R=2a$.
\item Четырёхугольник $OABC$ -- ромб, следовательно, $OB\perp AC$.
Четырёхугольник $OBCD$ -- ромб, поэтому $BO\parallel CD$.
Следовательно $AC\perp CD$.
\item $S=6\cdot S_{AOB}=6\frac{1}{2}a^2\sin{60\deg}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}.$
\end{enumerate} \end{proof}
\section{Длина окружности. Площадь круга} \begin{dfn}\label{def-dlin-okr} Длина окружности – это предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон. \end{dfn} \begin{dfn}\label{def-dlin-kriv-lin} Длина кривой линии приближённо равна длине вписанной ломанной и вычисляется она тем точнее, чем меньше звенья ломанной и чем чаще располагаются вершины ломанной на данной кривой. \end{dfn} \begin{thm}\label{127} Длина окружности пропорциональна ее радиусу, то есть отношение длины окружности к ее радиусу не зависит от окружности. \end{thm}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{120}
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{127}.}}\label{pic120}
\end{center}
\end{figure}
\begin{proof}\ \par Пусть $C$ и $C'$ – длины окружностей радиусов $R$ и $R'$ (рис. \ref{pic120}). Впишем в каждую из них правильный $n$-угольник и обозначим через $P_n$ и $P'_n$ их периметры. \par По следствию \ref{sle123-1} имеем \begin{equation}\label{eq007} \frac{P_n}{P'_n}=\frac{2R}{2R'}. \end{equation} Это равенство справедливо при любом значении $n$. Будем теперь неограничено увеличивать число $n$. Так как $P_n\rightarrow C$, $P'_n\rightarrow C'$ при $n\rightarrow \infty$, то $\frac{P_n}{P'_n}=\frac{C}{C'}$. Тогда в силу равенства \eqref{eq007} $\frac{C}{C'}=\frac{2R}{2R'}$. Из этого равенства следует, что $\frac{C}{2R}=\frac{C'}{2R'}$. \end{proof} \begin{dfn}\label{sle127.1} Отношение длины окружности к её диаметру обозначается числом $\pi$. То есть $\frac{C}{2R}=\pi$. Таким образом длина окружности вычисляется по формуле $C=2\pi R$. \end{dfn} \begin{thm}\label{127.2} Периметры $P$ правильных $n$-угольников, описанных около окружности $F$, приближаются к длине окружности $F$. \end{thm}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{121}
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{127.2}.}}\label{pic121}
\end{center}
\end{figure}
\begin{proof}\ \par Пусть правильный $n$-угольник $Q$ описан около окружности $F$ с радиусом $R$ и центром $O$ (рис. \ref{pic121}). Соединим отрезками точку $O$ с вершинами многоугольника $Q$. Эти отрезки пересекут окружность $F$ в точках, которые являются вершинами правильного $n$-угольника $Q'$, вписанного в $F$. пусть сторона $AB$ $n$-угольника $Q$ касается окружности $F$ в точке $C$, а отрезки $OA$ и $OB$ пересекают $F$ в точках $A'$ и $B'$. Радиус $OC$ пересечёт отрезок $A'B'$ в середине – точке $C'$.\par Отношение периметров $P$ и $P'$ правильных $n$-угольников $Q$ и $Q'$ равно отношению их сторон $AB$ и $A'B'$, то есть отношению их половин $\frac{AC}{A'C'}$. И так как $AC=R\tg{\frac{180\deg}{n}}$ и $A'C'=R\sin{\frac{180\deg}{n}}$, то $\frac{P}{P'}=\frac{1}{\cos{\frac{180\deg}{n}}}$. Поэтому $P=\frac{P'}{\cos{\frac{180\deg}{n}}}$.\par Когда число $n$ неограниченно увеличивается, $\cos{\frac{180\deg}{n}}$ приближается к $\cos{0\deg}$, то есть к $1$, а $P'$ – к длине окружности $F$, то есть к $2\pi R$. Следовательно, периметры $P$ правильных $n$-угольников, описанных около окружности $F$, как и периметры вписанных $n$-угольников, приближаются к длине окружности $F$. \end{proof} \begin{thm}\label{128} Длина дуги окружности, соответствующей центральному углу в $\alpha^\circ$, равна $l_\alpha=\frac{2\pi R\alpha}{360}$. \end{thm} \begin{proof}\ \par Так как длина всей окружности равна $2\pi R$, то длина дуги в $1\deg$ равна $\frac{2\pi R}{360}$. Поэтому длина дуги, соответствующей центральному углу в $\alpha\deg$ выражается формулой $l_\alpha=\frac{2\pi R}{360}\cdot\alpha$. \end{proof} \begin{thm}[о площади круга]\label{129} Площадь $S$ круга радиуса $R$ выражается формулой $S=\pi R^2$. \end{thm}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{122}
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{129}.}}\label{pic122}
\end{center}
\end{figure}
\begin{proof}\ \par Рассмотрим правильный $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$, вписанный в окружность, ограничивающую круг (рис. \ref{pic122}). Очевидно, площадь $S$ данного круга больше площади $S_n$ многоугольника $A_1A_2\ldots A_n$, так как этот многоугольник целиком содержится в данном круге. С другой стороны, площадь $S'_n$ круга, вписанного в многоугольник, меньше $S_n$, так как этот круг целиком содержится в многоугольнике. Итак, $S'n<S_n<S$.\par По пункту $4$ теоремы \ref{123} имеем $r_n=R\cos{\frac{180\deg}{n}}$, где $r_n$ – радиус вписанной в многоугольник окружности. При $n\rightarrow \infty$ $\cos{\frac{180\deg}{n}}\rightarrow 1$, поэтому $r_n\rightarrow R$. Иными словами, при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника вписанная в него окружность «стремиться» к описанной окружности, поэтому $S'_n\rightarrow S$ при $n\rightarrow \infty$.\par По теореме \ref{101} $S_n=\frac{1}{2}P_nr_n$, где $P_n$ -- периметр многоугольника $A_1A_2\ldots A_n$. Учитывая, что $r_n\rightarrow R, P_n\rightarrow 2\pi R, S_n\rightarrow S$ при $n\rightarrow \infty$, получаем $S=\frac{1}{2}2\pi R\cdot R=\pi R^2$. \end{proof} \begin{sle}\ \label{sle129.1} \begin{enumerate}
\item Площадь сектора, соответствующего центральному углу в
$\alpha^\circ$, выражается формулой $S_{\mbox{сек}}=\frac{\pi
R^2\alpha}{360}$.
\item Площадь сегмента, соответствующего центральному углу в
$\alpha^\circ$, выражается формулой $S_{\mbox{сегм}}=\frac{\pi
R^2\alpha}{360}-\frac{1}{2}R^2\sin{\alpha}$.
\end{enumerate} \end{sle}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=100pt]{123}
\end{center}
\end{minipage}
\caption{\footnotesize\textit{Следствие
\ref{sle129.1}.}}\label{pic123}
\end{center}
\end{figure}
\begin{proof}\ \par Докажем первый пункт. Так как площадь всего круга равна $\pi R^2$, то площадь сектора, ограниченного дугой в $1\deg$, равна $\frac{\pi R^2}{360}$. Поэтому площадь $S$ сектора, ограниченного дугой в $\alpha\deg$ равна $S=\frac{\pi R^2}{360}\cdot\alpha$.\par Докажем второй пункт. Площадь сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника $AOB$, таким образом $S_{\mbox{сегм}}=S_{\mbox{сек}}-S_{\tri AOB}=\frac{\pi
R^2\alpha}{360}-\frac{1}{2}R^2\sin{\alpha}.$
\end{proof}