Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:vsevmeste [2016/04/14 18:39] – создано labreslav
+++ math-public:vsevmeste [2016/04/14 18:46] (текущий) – создано labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+\section{Правильные многоугольники}
+\begin{dfn}\label{def30}
+Многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и
+все его углы равны.\end{dfn}
+\begin{thm}[о центре правильного многоугольника]\label{122}
+В каждом правильном многоугольнике есть точка, равноудаленная от
+всех его сторон и от всех его вершин.\end{thm}
+\begin{proof}\ \par
+Рассмотрим правильный многоугольник. Обозначим $\alpha=\a A$.
+Проведем в нём биссектрисы углов $A$ и $B$. Пусть они пересекаются в
+точке $O$. Докажем, что Биссектрисы остальных углов данного
+многоугольника тоже проходят через точку $O$.\par Так как $OA$ и
+$OB$ -- это биссектрисы, а углы правильного многоугольника равны, то
+$\a 1=\a 2=\a 3=\a 4=\frac{1}{2}\alpha$. Следовательно, треугольник
+$AOB$ равнобедренный, то есть $OA=OB$. Кроме того $\tri AOB=\tri
+BOC$ по первому признаку равенства ($OA=OB, AB=BC, \a 2=\a4$).
+Следовательно, $OB=OC$ и $\a 5=\a 3=\frac{1}{2}\alpha$. Таким
+образом $OC$ является биссектрисой угла $C$, а точка $O$
+равноудалена от вершин $A, B$ и $C$. Аналогичные рассуждение теперь
+можно провести для вершины $D$, и потом по очереди для всех других
+вершин многоугольника.\par Таким образом точка $O$ равноудалена от
+всех вершин многоугольника, в силу равенства треугольников, кроме
+того точка $O$ равноудалена от  всех сторон многоугольника, так как
+это точка пересечение биссектрис.
+\end{proof}
+\begin{sle}\label{sle122.1}\
+Для любого правильного многоугольника существует вписанная и
+описанная окружность, причём их центры совпадает. Вписанная и
+описанная окружность для правильного многоугольника единственны.
+\end{sle}
+\begin{proof}\ \par
+Существование и совпадение центров вписанной и описанной окружности
+непосредственно следуют из теоремы \ref{122}.\par Докажем
+единственность. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника,
+например $A, B, C$. Так как через эти точки проходит только одна
+окружность, то около многоугольника можно описать только одну
+окружность.\par Теперь предположим, что в правильный многоугольник
+можно вписать окружность с центром $O$ и радиусом $OM$ и другую
+окружность с центром $O_1$ и радиусом $O_1M_1$.  Тогда центр $O_1$
+равноудалён от всех сторон многоугольника, следовательно, точка
+$O_1$ лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и,
+следовательно, совпадает с точкой $O$ пересечения этих биссектрис.
+Радиус окружности $O_1M_1$ равен расстоянию от точки $O$ до сторон
+многоугольника, то есть $OM$. Таким образом вторая окружность
+совпадает с первой.
+\end{proof}
+\begin{sle}\label{sle122.2}
+Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон
+многоугольника в их серединах.
+\end{sle}
+\begin{proof}\ \par
+Утверждение следует из того, что радиус вписанной окружности
+является высотой равнобедренного треугольника $AOB$.
+\end{proof}
+\begin{thm}\label{123}\
+Пусть $\alpha$ -- это угол правильного $n$-угольника, а $\beta$ --
+угол между радиусами описанной окружности, проведёнными  к соседним
+вершинам. Тогда выполняются следующие соотношения
+\begin{enumerate}
+  \item $\alpha=\frac{180^\circ(n-2)}{n},\ \beta=\frac{360^\circ}{n}$.
+  \item $a=2R\sin{\frac{\beta}{2}}=2R\cos{\frac{\alpha}{2}}$.
+  \item $a=2r\tg{\frac{\beta}{2}}=2r\ctg{\frac{\alpha}{2}}$.
+  \item $r=R\cos{\frac{\beta}{2}}=R\sin{\frac{\alpha}{2}}$.
+  \item $S=pr=\frac{1}{2}nr^2\sin{\beta}$.
+\end{enumerate}
+\end{thm}
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{116}\\
+\end{center}
+\end{minipage}
+\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{123}.}}\label{pic116}
+\end{center}
+\end{figure}
+\begin{proof}\ \par
+\begin{enumerate}
+  \item По теореме \ref{24} сумма углов $n$-угольника равна
+  $180\deg(n-2)$, следовательно, каждый угол будет равен
+  $\alpha=\frac{180^\circ(n-2)}{n}$. Кроме того полный угол $O$
+  разделён радиусами, проведёнными к вершинам многоугольника, на $n$
+  частей, следовательно, $\beta=\frac{360\deg}{n}$.\par
+Проведем высоту $OM$ треугольника $AOB$. Так как треугольник
+  $AOB$ равнобедренный, то $\a AOM=\frac{\beta}{2}$, $AM=\frac{a}{2}$. Кроме того $\a
+  OAM=\frac{\alpha}{2}$. Из треугольника $AOM$ получаем $a=2r\tg{\frac{\beta}{2}}=2r\ctg{\frac{\alpha}{2}}$.
+  \item $\sin{\frac{\beta}{2}}=\cos{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{a}{2}}{R}$, следовательно, $a=2R\sin{\frac{\beta}{2}}=2R\cos{\frac{\alpha}{2}}$.
+  \item $\tg{\frac{\beta}{2}}=\ctg{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{a}{2}}{r}$, следовательно,
+  \item $\cos{\frac{\beta}{2}}=\sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{r}{R}$,
+  следовательно, $r=R\cos{\frac{\beta}{2}}=R\sin{\frac{\alpha}{2}}$.
+  \item Формула $S=pr$ следует из теоремы \ref{101}. C другой стороны $S=n\cdot S_{AOB}=n\cdot\frac{1}{2}R^2\sin{\beta}$ можно
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{sle}\label{sle123-1}
+Периметры правильных $n$-угольников относятся как радиусы описанных
+около них окружностей.
+\end{sle}
+\begin{proof}\ \par
+Рассмотрим два правильных $n$-угольника со сторонами $a_n$ и $a'_n$
+соответственно. Используя формулы из пунктов $1$ и $2$ теоремы
+\ref{123} выпишем периметры $P_n$ и $P'_n$ данных многоугольников:
+$P_n=n\cdot a_n=n\cdot 2R\sin{\frac{180\deg}{n}}, P'_n=n\cdot
+a'_n=n\cdot 2R'\sin{\frac{180\deg}{n}}$. Следовательно,
+$\frac{P_n}{P'_n}=\frac{2R}{2R'}=\frac{R}{R'}$.
+\end{proof}
+\begin{thm}[правильный треугольник]\label{124}\
+\begin{enumerate}
+  \item $\alpha=60^\circ$.
+  \item $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
+  \item $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
+  \item $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.
+  \item $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
+  \item $R=2r$.
+\end{enumerate}
+\end{thm}
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{118}\\
+\end{center}
+\end{minipage}
+\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{124}.}}\label{pic118}
+\end{center}
+\end{figure}
+\begin{proof}\ \par
+\begin{enumerate}
+  \item $\alpha=\frac{180\deg}{3}=60\deg$.
+  \item
+  $S=\frac{1}{2}a^2\sin{60\deg}=\frac{1}{2}a^2\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
+  \item
+  $h=\frac{2S}{a}=\frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
+  \item
+  $r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3a}{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.
+  \item
+  $R=\frac{a^3}{4S}=\frac{a^3}{a^2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
+  \item $R=2r$, в силу предыдущих двух пунктов.
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{thm}[Квадрат]\label{125}\
+\begin{enumerate}
+  \item $\alpha=90^\circ$.
+  \item $S=a^2$.
+  \item $d=a\sqrt{2}$.
+  \item $r=\frac{a}{2}$.
+  \item $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
+\end{enumerate}
+\end{thm}
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{119}\\
+\end{center}
+\end{minipage}
+\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{125}.}}\label{pic119}
+\end{center}
+\end{figure}
+\begin{proof}\ \par
+Первые два пункта теоремы очевидны. Третий следует из теоремы
+Пифагора $d=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.
+$r=\frac{S}{p}=\frac{a^2}{2a}=\frac{a}{2}$,
+$R=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
+\end{proof}
+\begin{thm}[Правильный шестиугольник]\label{126}\
+\begin{enumerate}
+  \item $\alpha=120^\circ$.
+  \item $R=a$, $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
+  \item $d_1=2a,\ d_2=a\sqrt{3}$
+  \item Малая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.
+  \item Противоположные стороны правильного шестиугольника
+  параллельны между собой, а также параллельны большой диагонали.
+  \item $S=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
+\end{enumerate}
+\end{thm}
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{117}\\
+\end{center}
+\end{minipage}
+\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{126}.}}\label{pic117}
+\end{center}
+\end{figure}
+\begin{proof}\ \par
+\begin{enumerate}
+  \item $\alpha=\frac{180\deg(6-2)}{6}=120\deg$.
+  \item Так как $BO$ и $CO$ -- биссектрисы, то $\a CBO=\a
+  BCO=60\deg$. Следовательно, треугольник $BOC$ равносторонний.
+  Значит $R=a, r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
+  \item $\a BOC+\a COD+\a DOE=3\cdot60\deg=180\deg$. Следовательно,
+  точки $B, O$ и $E$ лежат на одной прямой, значит $BE$ --
+  диагональ, и $BE=2R=2a$.
+  \item Четырёхугольник $OABC$ -- ромб, следовательно, $OB\perp AC$.
+  Четырёхугольник $OBCD$ -- ромб, поэтому $BO\parallel CD$.
+  Следовательно $AC\perp CD$.
+  \item $S=6\cdot S_{AOB}=6\frac{1}{2}a^2\sin{60\deg}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}.$
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+\section{Длина окружности. Площадь круга}
+\begin{dfn}\label{def-dlin-okr}
+Длина окружности -- это предел, к которому стремится периметр
+правильного вписанного в окружность многоугольника при
+неограниченном увеличении числа его сторон.
+\end{dfn}
+\begin{dfn}\label{def-dlin-kriv-lin}
+Длина кривой линии приближённо равна длине вписанной ломанной и
+вычисляется она тем точнее, чем меньше звенья ломанной и чем чаще
+располагаются вершины ломанной на данной кривой.
+\end{dfn}
+\begin{thm}\label{127}
+Длина окружности пропорциональна ее радиусу, то есть отношение длины
+окружности к ее радиусу не зависит от окружности.
+\end{thm}
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{120}\\
+\end{center}
+\end{minipage}
+\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{127}.}}\label{pic120}
+\end{center}
+\end{figure}
+\begin{proof}\ \par
+Пусть $C$ и $C'$ -- длины окружностей радиусов $R$ и $R'$ (рис.
+\ref{pic120}). Впишем в каждую из них правильный $n$-угольник и
+обозначим через $P_n$ и $P'_n$ их периметры. \par По следствию
+\ref{sle123-1} имеем
+\begin{equation}\label{eq007}
+\frac{P_n}{P'_n}=\frac{2R}{2R'}.
+\end{equation} Это равенство справедливо при
+любом значении $n$. Будем теперь неограничено увеличивать число $n$.
+Так как $P_n\rightarrow C$, $P'_n\rightarrow C'$ при $n\rightarrow
+\infty$, то $\frac{P_n}{P'_n}=\frac{C}{C'}$. Тогда в силу равенства
+\eqref{eq007} $\frac{C}{C'}=\frac{2R}{2R'}$. Из этого равенства
+следует, что $\frac{C}{2R}=\frac{C'}{2R'}$.
+\end{proof}
+\begin{dfn}\label{sle127.1}
+Отношение длины окружности к её диаметру обозначается числом $\pi$.
+То есть $\frac{C}{2R}=\pi$. Таким образом длина окружности
+вычисляется по формуле $C=2\pi R$.
+\end{dfn}
+\begin{thm}\label{127.2}
+Периметры $P$ правильных $n$-угольников, описанных около окружности
+$F$, приближаются к длине окружности $F$.
+\end{thm}
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{121}\\
+\end{center}
+\end{minipage}
+\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{127.2}.}}\label{pic121}
+\end{center}
+\end{figure}
+\begin{proof}\ \par
+Пусть правильный $n$-угольник $Q$ описан около окружности $F$ с
+радиусом $R$ и центром $O$ (рис. \ref{pic121}). Соединим отрезками
+точку $O$ с вершинами многоугольника $Q$. Эти отрезки пересекут
+окружность $F$ в точках, которые являются вершинами правильного
+$n$-угольника $Q'$, вписанного в $F$. пусть сторона $AB$
+$n$-угольника $Q$ касается окружности $F$ в точке $C$, а отрезки
+$OA$ и $OB$ пересекают $F$ в точках $A'$ и $B'$. Радиус $OC$
+пересечёт отрезок $A'B'$ в середине -- точке $C'$.\par Отношение
+периметров $P$ и $P'$ правильных $n$-угольников $Q$ и $Q'$ равно
+отношению их сторон $AB$ и $A'B'$, то есть отношению их половин
+$\frac{AC}{A'C'}$. И так как $AC=R\tg{\frac{180\deg}{n}}$ и
+$A'C'=R\sin{\frac{180\deg}{n}}$, то
+$\frac{P}{P'}=\frac{1}{\cos{\frac{180\deg}{n}}}$. Поэтому
+$P=\frac{P'}{\cos{\frac{180\deg}{n}}}$.\par Когда число $n$
+неограниченно увеличивается, $\cos{\frac{180\deg}{n}}$ приближается
+к $\cos{0\deg}$, то есть к $1$, а $P'$ -- к длине окружности $F$, то
+есть к $2\pi R$. Следовательно, периметры $P$ правильных
+$n$-угольников, описанных около окружности $F$, как и периметры
+вписанных $n$-угольников, приближаются к длине окружности $F$.
+\end{proof}
+\begin{thm}\label{128}
+Длина дуги окружности, соответствующей центральному углу в
+$\alpha^\circ$, равна $l_\alpha=\frac{2\pi R\alpha}{360}$.
+\end{thm}
+\begin{proof}\ \par
+Так как длина всей окружности равна $2\pi R$, то длина дуги в
+$1\deg$ равна $\frac{2\pi R}{360}$. Поэтому длина дуги,
+соответствующей центральному углу в $\alpha\deg$ выражается формулой
+$l_\alpha=\frac{2\pi R}{360}\cdot\alpha$.
+\end{proof}
+\begin{thm}[о площади круга]\label{129}
+Площадь $S$ круга радиуса $R$ выражается формулой $S=\pi R^2$.
+\end{thm}
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{122}\\
+\end{center}
+\end{minipage}
+\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{129}.}}\label{pic122}
+\end{center}
+\end{figure}
+\begin{proof}\ \par
+Рассмотрим правильный $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$, вписанный в
+окружность, ограничивающую круг (рис. \ref{pic122}). Очевидно,
+площадь $S$ данного круга больше площади $S_n$ многоугольника
+$A_1A_2\ldots A_n$, так как этот многоугольник целиком содержится в
+данном круге. С другой стороны, площадь $S'_n$ круга, вписанного в
+многоугольник, меньше $S_n$, так как этот круг целиком содержится в
+многоугольнике. Итак, $S'n<S_n<S$.\par По пункту $4$ теоремы
+\ref{123} имеем $r_n=R\cos{\frac{180\deg}{n}}$, где $r_n$ -- радиус
+вписанной в многоугольник окружности. При $n\rightarrow \infty$
+$\cos{\frac{180\deg}{n}}\rightarrow 1$, поэтому $r_n\rightarrow R$.
+Иными словами, при неограниченном увеличении числа сторон
+многоугольника вписанная в него окружность <<стремиться>> к
+описанной окружности, поэтому $S'_n\rightarrow S$ при $n\rightarrow
+\infty$.\par По теореме \ref{101} $S_n=\frac{1}{2}P_nr_n$, где $P_n$
+-- периметр многоугольника $A_1A_2\ldots A_n$. Учитывая, что
+$r_n\rightarrow R, P_n\rightarrow 2\pi R, S_n\rightarrow S$ при
+$n\rightarrow \infty$, получаем $S=\frac{1}{2}2\pi R\cdot R=\pi
+R^2$.
+\end{proof}
+\begin{sle}\
+\label{sle129.1}
+\begin{enumerate}
+  \item Площадь сектора, соответствующего центральному углу в
+  $\alpha^\circ$, выражается формулой $S_{\mbox{сек}}=\frac{\pi
+  R^2\alpha}{360}$.
+  \item Площадь сегмента, соответствующего центральному углу в
+  $\alpha^\circ$, выражается формулой $S_{\mbox{сегм}}=\frac{\pi
+  R^2\alpha}{360}-\frac{1}{2}R^2\sin{\alpha}$.
+\end{enumerate}
+\end{sle}
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{123}\\
+\end{center}
+\end{minipage}
+\caption{\footnotesize\textit{Следствие
+\ref{sle129.1}.}}\label{pic123}
+\end{center}
+\end{figure}
+\begin{proof}\ \par
+Докажем первый пункт. Так как площадь всего круга равна $\pi R^2$,
+то площадь сектора, ограниченного дугой в $1\deg$, равна $\frac{\pi
+R^2}{360}$. Поэтому площадь $S$ сектора, ограниченного дугой в
+$\alpha\deg$ равна $S=\frac{\pi R^2}{360}\cdot\alpha$.\par Докажем
+второй пункт. Площадь сегмента равна разности площади сектора и
+площади треугольника $AOB$, таким образом
+$S_{\mbox{сегм}}=S_{\mbox{сек}}-S_{\tri AOB}=\frac{\pi
+  R^2\alpha}{360}-\frac{1}{2}R^2\sin{\alpha}.$
+\end{proof}