Замечательное свойство трапеции
В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Доказательство
Рассмотрим трапецию $ABCD$.
Пусть продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, точка $M$ – середина основания $BC$, а $N$ – это точка пересечения прямых $PM$ и $AD$.
Докажем, что $N$ – это середина $AD$.
Так как $BC\parallel AD$, то $\triangle BPM\sim \triangle PAN$ и $\triangle PCM\sim\triangle PND$, причем коэффициент подобия в обоих случаях равен $k=\dfrac{PN}{PM}$.
Тогда $AN=k\cdot BM=k\cdot MC=ND$.
Таким образом $N$ – середина $AD$.
Пусть $O$ – точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.
Докажем, что точка $O$ принадлежит отрезку $MN$.
Треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны с коэффициентом $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{BM}{AN}=\dfrac{PM}{PN}=k$.
Следовательно, $\dfrac{BO}{OD}=k$, $\dfrac{BM}{ND}=k$ и $\angle 1=\angle 2$, как накрест лежащие.
Тогда $\triangle BMO\sim\triangle OND$ по второму признаку подобия треугольников.
Следовательно, $\angle 3=\angle 4$, а тогда $MON$ – одна прямая.