Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:zamechatelnoe_svojstvo_trapecii [2016/04/07 20:45] – создано labreslav
+++ math-public:zamechatelnoe_svojstvo_trapecii [2020/11/24 16:47] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+===== Замечательное свойство трапеции =====
+В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
+[[http://wiki.sch239.net/lib/exe/fetch.php?media=math-public:061b.jpg|{{:math-public:061b.jpg?direct&300}}]]
+==== Доказательство ====
+Рассмотрим трапецию $ABCD$.
+Пусть продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, точка $M$ – середина основания $BC$, а $N$ – это точка пересечения прямых $PM$ и $AD$.
+Докажем, что $N$ – это середина $AD$.
+Так как $BC\parallel AD$, то $\triangle BPM\sim \triangle PAN$ и $\triangle PCM\sim\triangle PND$, причем коэффициент подобия в обоих случаях равен $k=\dfrac{PN}{PM}$.
+Тогда $AN=k\cdot BM=k\cdot MC=ND$.
+Таким образом $N$ – середина $AD$.
+Пусть $O$ – точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.
+Докажем, что точка $O$ принадлежит отрезку $MN$.
+Треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны с коэффициентом $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{BM}{AN}=\dfrac{PM}{PN}=k$.
+Следовательно, $\dfrac{BO}{OD}=k$, $\dfrac{BM}{ND}=k$ и $\angle 1=\angle 2$, как накрест лежащие.
+Тогда $\triangle BMO\sim\triangle OND$ по второму признаку подобия треугольников.
+Следовательно, $\angle 3=\angle 4$, а тогда $MON$ – одна прямая.