math-public:ugly_v_okruzhnosti
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:ugly_v_okruzhnosti [2016/04/23 21:29] – [Доказательство] labreslav | math-public:ugly_v_okruzhnosti [2016/04/24 13:37] (текущий) – [Доказательство] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ======Углы в окружности====== | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом. | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Градусной мерой дуги окружности называется величина центрального | ||
+ | угла, который соответствует этой дуге. | ||
+ | |||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Угол, вершина которого лежит на окружности, | ||
+ | окружность, | ||
+ | |||
+ | =====Теоерема о вписанном угле===== | ||
+ | Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он | ||
+ | опирается. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Пусть $\a ABC$ -- вписанный угол окружности с центром $O$, | ||
+ | опирающийся на дугу $AC$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим три возможных случая расположения луча $BO$ относительно | ||
+ | угла $ABC$. | ||
+ | |||
+ | ===Первый случай.=== | ||
+ | |||
+ | Пусть луч $BO$ совпадает с одной из сторон угла $ABC$, например со стороной $BC$. | ||
+ | |||
+ | В этом случае дуга $AC$ меньше полуокружности, | ||
+ | |||
+ | Так как угол $AOC$ -- внешний угол равнобедренного треугольника $ABO$, и $\angle 1=\angle 2$, как углы при основании равнобедренного треугольника, | ||
+ | |||
+ | Отсюда следует, | ||
+ | |||
+ | ===Второй случай.=== | ||
+ | Пусть луч $BO$ делит угол $ABC$ на два угла. | ||
+ | |||
+ | В этом случае луч $BO$ пересекает дугу $\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | Точка $D$ разделяет дугу $\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | По первому случаю $\angle ABD=\frac{1}{2}\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | Складывая эти равенства, | ||
+ | |||
+ | ===Третий случай.=== | ||
+ | |||
+ | Пусть луч $BO$ пересекает окружность в точке $D$, при этом луч $BC$ разбивает угол $ABD$ на два угла. | ||
+ | |||
+ | Точка $C$ разделяет дугу $\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | По первому случаю $\angle ABD=\frac{1}{2}\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | Вычитая эти равенства, | ||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | Вписанный угол, опирающийся на диаметр -- прямой. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | - Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме двух противоположных дуг, высекаемых этими хордами. | ||
+ | - Угол между двумя пересекающимися секущими данной окружности равен полуразности дуг, высекаемых этими секущими. | ||
+ | - Угол между двумя пересекающимися касательными к окружности равен $180^\circ-\alpha$, | ||
+ | - Угол между касательной и хордой, | ||
+ | - Угол между касательной и секущей, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Докажем первый пункт теоремы.=== | ||
+ | Пусть хорды $AB$ и $CD$ окружности $\omega$ пересекаются в точке $E$. | ||
+ | |||
+ | Обозначим $\angle \varphi=\angle AED, \alpha=\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Углы $ABD$ и $CDB$ -- вписанные, | ||
+ | |||
+ | Кроме того $\angle \varphi$ -- внешний угол треугольника $EBD$, поэтому $\angle | ||
+ | \varphi=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2}$. | ||
+ | |||
+ | ===Докажем второй пункт теоремы.=== | ||
+ | Пусть секущие $PB$ и $PD$ пересекают окружность $\omega$ в точках $A$ и $C$ соответственно. | ||
+ | |||
+ | Обозначим $\alpha = \buildrel\, | ||
+ | \angle \varphi=\angle P$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Углы $BAD$ и $ADC$ -- вписанные, | ||
+ | |||
+ | Кроме того $\angle BAD$ -- внешний угол треугольника $PAD$, следовательно, | ||
+ | \varphi+\frac{\beta}{2}$, | ||
+ | |||
+ | ===Докажем третий пункт теоремы.=== | ||
+ | Пусть из точки $P$ к окружности с центром $O$ проведены две касательные $PA$ и $PB$ ($A$ и $B$ -- точки касания). | ||
+ | |||
+ | Обозначим $\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | Угол $AOB$ -- центральный, | ||
+ | |||
+ | Кроме того $\angle PAO=\angle PBO=90^\circ$. | ||
+ | |||
+ | Поскольку сумма углов четырехугольника $PAOB$ равна $360^\circ$, | ||
+ | \varphi=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\alpha=180^\circ-\alpha$. | ||
+ | |||
+ | ===Докажем четвертый пункт теоремы.=== | ||
+ | Пусть прямая $PC$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$. | ||
+ | |||
+ | Кроме того пусть проведена хорда $AB$. | ||
+ | |||
+ | Обозначим $\alpha=\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Угол $AOB$ центральный, | ||
+ | |||
+ | Кроме того, треугольник $AOB$ равнобедренный, | ||
+ | |||
+ | Угол $OAP$ равен $90^\circ$, так как это угол между касательной и радиусом. | ||
+ | |||
+ | Тогда $\angle \varphi=\angle PAB=90^\circ-(90^\circ-\frac{\alpha}{2})=\frac{\alpha}{2}$. | ||
+ | |||
+ | ===Докажем пятый пункт теоремы.=== | ||
+ | Пусть секущая $PB$ пересекает окружность в точке $A$, $PC$ -- касательная. | ||
+ | |||
+ | Обозначим $\alpha=\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Угол $\angle BAC$ равен половине дуги $\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | Угол $\angle ACP$ -- это угол между касательной и хордой, | ||
+ | |||
+ | Угол $\angle BAC$ -- внешний для треугольника $\triangel PAC$, следовательно $\angle BAC=\angle APC+\angle PCA$, или иначе $\dfrac{\alpha}{2}=\varphi+\dfrac{\beta}{2}$. | ||
+ | |||
+ | Откуда $\varphi=\dfrac{\alpha-\beta}{2}$. |
math-public/ugly_v_okruzhnosti.1461436170.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/04/23 21:29 — labreslav