no way to compare when less than two revisions

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=======Четыре замечательные точки треугольника=======
+=====Определение=====
+Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается
+всех его сторон. Многоугольник в таком случае называется описанным.
+=====Определение=====
+Окружность называется описанной около многоугольника, если она
+проходит через все его вершины. Многоугольник в таком случае
+называется вписанным в данную окружность.
+=====Определение=====
+Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или
+центром масс.
+=====Замечение=====
+Медианы треугольника пересекаются в одной точке по теореме.
+=====Теорема о биссектрисе, как ГМТ=====
+Биссектриса неразвернутого угла -- это геометрическое место точек,
+равноудаленных от его сторон.
+{{:math-public:089a.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим угол $\angle A$.
+Докажем, что любая точка, принадлежащая биссектрисе равноудалена от сторон этого угла.
+Возьмём произвольную точку $M$ на биссектрисе угла $A$ и опустим из неё перпендикуляры
+$MB$ и $MC$ на стороны данного угла.
+Треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому $MB=MC$, и
+следовательно, точка $M$ равноудалена от сторон угла.
+Обратно: докажем, что если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на
+биссектрисе.
+Возьмём произвольную точку $M$, из которой опущены перпендикуляры $MB$ и $MC$ на стороны угла и при этом $MB=MC$.
+Докажем, что точка $M$ принадлежит биссектрисе.
+Треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по гипотенузе и катету, следовательно, $\angle BAM=\angle CAM$,
+то есть $AM$ -- биссектриса угла $\angle A$.
+=====Теорема=====
+Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
+{{:math-public:090.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+===Первый способ.===
+Рассмотрим треугольник $ABC$ в котором проведены
+биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
+По теореме $\dfrac{AC_1}{C_1B}=\dfrac{AC}{BC}, \dfrac{BA_1}{A_1C}=\dfrac{AB}{AC}, \dfrac{CB_1}{B_1A}=\dfrac{BC}{BA}$.
+Перемножая эти равенства, получим:
+$\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=\dfrac{AC}{BC}\cdot
+\dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{BC}{BA}=1$, а это по теореме Чевы означает,
+что биссектрисы $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной
+точке.
+===Второй способ.===
+Рассмотрим треугольник $ABC$ в котором проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
+Докажем, что все биссектрисы пересекаются в одной точке.
+Пусть биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $I$.
+Тогда по теореме $\rho(I;AB)=\rho(I;AC)$, так как $I\in AA_1$, и $\rho(I;BA)=\rho(I;BC)$, так как $I\in BB_1$.
+Тогда $\rho(I;CA)=\rho(I;CB)$, что означает, что $I\in CC_1$, то есть все три биссектрисы пересекаются в одной точке.
+=====Следствие=====
+В любой треугольник можно вписать окружность, центром которой будет
+являться точка пересечения его биссектрис. Такая окружность
+единственна.
+{{:math-public:091.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и обозначим буквой $I$
+точку пересечения его биссектрис.
+Проведем из этой точки перпендикуляры $IK, IL$ и $IM$ к сторонам $AB, BC$ и $CA$ соответственно.
+Так как точка $I$ равноудалена от сторон треугольника, то $IK=IL=IM$.
+Поэтому окружность с центром $I$ радиуса $IK$ проходит через точки $K, L$ и $M$.
+Стороны треугольника $ABC$ касаются этой окружности в точках $K, L, M$ так
+как они перпендикулярны к радиусам $IK, IL$ и $IM$.
+Значит окружность с центром $I$ радиуса $IK$ является вписанной в треугольник $ABC$.
+Докажем, что такая окружность единственна.
+В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности.
+Тогда центр каждой окружности равноудалён от сторон треугольника и, значит совпадает с точкой $I$ пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки $I$ до сторон
+треугольника.
+Следовательно, эти окружности совпадают.
+=====Следствие=====
+Если все биссектрисы выпуклого многоугольника пересекаются в одной
+точке, то в него можно вписать окружность, центром которой будет
+точка пересечения биссектрис.
+====Доказательство====
+Если все биссектрисы пересекаются в одной точке, то эта точка будет
+равноудалена от всех её сторон, то есть перпендикуляры к сторонам
+многоугольника будут равны, а окружность с центром в этой точке и с
+радиусом, равным расстоянию от точки пересечения биссектрис до
+стороны, будет касаться всех сторон.
+=====Теорема о серединном перпендикуляре, как ГМТ=====
+Серединный перпендикуляр к отрезку -- это геометрическое место
+точек, равноудаленных от концов отрезка.
+{{:math-public:092.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим отрезок $AB$.
+Середину отрезка обозначим $C$.
+Докажем, что любая точка, принадлежащая серединному перпендикуляру,
+равноудалена от сторон.
+Действительно, возьмём произвольную точку $M$ на серединном перпендикуляре.
+Если $M=C$, то очевидно, что $MA=MB$.
+Если $M\neq C$, то треугольники $AMC$ и $BMC$ равны по двум
+катетам, следовательно $AM=MB$.
+Обратно, докажем, что любая точка равноудалённая от сторон, принадлежит серединному
+перпендикуляру.
+Возьмём произвольную точку $M$, для которой $MA=MB$.
+Если $M=C$, то очевидно, $M$ принадлежит серединному перпендикуляру.
+Если $M C$, то треугольник $AMB$ -- равнобедренный, и, следовательно, медиана $MC$ является высотой, то есть $MC$ -- серединный перпендикуляр.
+=====Следствие=====
+Все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в
+одной точке.
+{{:math-public:093.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, в котором точки $M, N$ и
+$P$ являются серединами сторон $AB, BC$ и $CA$.
+Обозначим серединные перпендикуляры к сторонам $AB, BC, AC$ как $m,
+n, p$.
+Докажем, что эти серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.
+Если предположить, что $m\parallel n$, то получится, что $n\perp BA$, так как $m\perp BA$.
+Но тогда получится, что через точку $B$ проходят две различные прямые $BA$ и $BC$,
+перпендикулярные прямой $n$, что невозможно, следовательно, прямые
+$m$ и $n$ пересекаются.
+Пусть они пересекаются в точке $O$.
+Тогда по теореме $OA=OB$, так как точка $O\in m$, и $OB=OC$, так как
+$O\in n$.
+Тогда $OA=OC$, и, следовательно, $O\in p$.
+=====Следствие=====
+Около любого треугольника можно описать окружность, центром которой
+будет точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
+Такая окружность единственна.
+{{:math-public:094.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором серединные перпендикуляры к
+сторонам пересекаются в точке $O$.
+Тогда точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$.
+Тогда окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$ будет описанной около данного
+треугольника.
+Докажем, что такая окружность единственна.
+Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности.
+Тогда, центры этих окружностей равноудалены от вершин треугольника.
+Но такая точка только одна -- это точка пересечения серединных перпендикуляров.
+Кроме того их радиусы равны $OA$, следовательно эти окружности совпадают.
+=====Следствие=====
+Если все серединные перпендикуляры к сторонам выпуклого
+многоугольника пересекаются в одной точке, то около него можно
+описать окружность, центром которой будет точка пересечения
+серединных перпендикуляров.
+====Доказательство====
+Если все серединные перпендикуляры к сторонам выпуклого
+многоугольника пересекаются в одной точке, то эта точка равноудалена
+от всех его вершин, и, следовательно, окружность с центром в этой
+точке и с радиусом, равным расстоянию от этой точки до какой-либо из
+его вершин, будет описанной около этого многоугольника.
+=====Теорема=====
+Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
+{{:math-public:095.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, в котором проведены
+высоты $AA_1, BB_1, CC_1$.
+Докажем, что все высоты пересекаются в одной точке.
+Проведем через точку $B$ прямую, параллельную $AC$, через точку $C$ -- прямую, параллельную
+$AB$, а через точку $A$ -- прямую, параллельную $BC$.
+Эти прямые, пересекаясь, образуют треугольник $MNP$.
+Четырёхугольник $AMBC$ является параллелограммом ($MB\parallel AC$, $MA\parallel BC$).
+Аналогично, $ABNC$ -- параллелограмм.
+Тогда $MB=AC=BN$, как противоположные стороны параллелограмма.
+Следовательно, $B$ -- середина $MN$, а $BB_1$ -- серединный перпендикуляр к отрезку $MN$.
+Аналогично, $AA_1$ -- серединный перпендикуляр к отрезку $MP$, $CC_1$ -- серединный перпендикуляр к отрезку $PN$.
+Получается, что $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке, как серединные перпендикуляры треугольника $MNP$.
+=====Следствие=====
+Если через вершины треугольника провести прямые, параллельные
+противоположным сторонам, то пересекаясь, они образуют треугольник
+подобный исходному с коэффициентом $2$. При этом вершины исходного
+треугольника являются серединами сторон образовавшегося
+треугольника.
+=====Следствие=====
+Серединные перпендикуляры треугольника являются высотами серединного
+треугольника. Следовательно, ортоцентр серединного треугольника
+является центром окружности, описанной около исходного треугольника.
+====Доказательство====
+Утверждение полностью следует из доказательства теоремы.
+=====Определение=====
+Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром
+треугольника.