Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в таком случае называется описанным.

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Многоугольник в таком случае называется вписанным в данную окружность.

Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или центром масс.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке по теореме.

Биссектриса неразвернутого угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от его сторон.

Рассмотрим угол $\angle A$.

Докажем, что любая точка, принадлежащая биссектрисе равноудалена от сторон этого угла.

Возьмём произвольную точку $M$ на биссектрисе угла $A$ и опустим из неё перпендикуляры $MB$ и $MC$ на стороны данного угла.

Треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому $MB=MC$, и следовательно, точка $M$ равноудалена от сторон угла.

Обратно: докажем, что если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе.

Возьмём произвольную точку $M$, из которой опущены перпендикуляры $MB$ и $MC$ на стороны угла и при этом $MB=MC$.

Докажем, что точка $M$ принадлежит биссектрисе.

Треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по гипотенузе и катету, следовательно, $\angle BAM=\angle CAM$, то есть $AM$ – биссектриса угла $\angle A$.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Рассмотрим треугольник $ABC$ в котором проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.

По теореме $\dfrac{AC_1}{C_1B}=\dfrac{AC}{BC}, \dfrac{BA_1}{A_1C}=\dfrac{AB}{AC}, \dfrac{CB_1}{B_1A}=\dfrac{BC}{BA}$.

Перемножая эти равенства, получим: $\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=\dfrac{AC}{BC}\cdot \dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{BC}{BA}=1$, а это по теореме Чевы означает, что биссектрисы $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.

Рассмотрим треугольник $ABC$ в котором проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.

Докажем, что все биссектрисы пересекаются в одной точке.

Пусть биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $I$.

Тогда по теореме $\rho(I;AB)=\rho(I;AC)$, так как $I\in AA_1$, и $\rho(I;BA)=\rho(I;BC)$, так как $I\in BB_1$.

Тогда $\rho(I;CA)=\rho(I;CB)$, что означает, что $I\in CC_1$, то есть все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

В любой треугольник можно вписать окружность, центром которой будет являться точка пересечения его биссектрис. Такая окружность единственна.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и обозначим буквой $I$ точку пересечения его биссектрис.

Проведем из этой точки перпендикуляры $IK, IL$ и $IM$ к сторонам $AB, BC$ и $CA$ соответственно.

Так как точка $I$ равноудалена от сторон треугольника, то $IK=IL=IM$.

Поэтому окружность с центром $I$ радиуса $IK$ проходит через точки $K, L$ и $M$.

Стороны треугольника $ABC$ касаются этой окружности в точках $K, L, M$ так как они перпендикулярны к радиусам $IK, IL$ и $IM$.

Значит окружность с центром $I$ радиуса $IK$ является вписанной в треугольник $ABC$.

Докажем, что такая окружность единственна.

В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности.

Тогда центр каждой окружности равноудалён от сторон треугольника и, значит совпадает с точкой $I$ пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки $I$ до сторон треугольника.

Следовательно, эти окружности совпадают.

Если все биссектрисы выпуклого многоугольника пересекаются в одной точке, то в него можно вписать окружность, центром которой будет точка пересечения биссектрис.

Если все биссектрисы пересекаются в одной точке, то эта точка будет равноудалена от всех её сторон, то есть перпендикуляры к сторонам многоугольника будут равны, а окружность с центром в этой точке и с радиусом, равным расстоянию от точки пересечения биссектрис до стороны, будет касаться всех сторон.

Серединный перпендикуляр к отрезку – это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка.

Рассмотрим отрезок $AB$.

Середину отрезка обозначим $C$.

Докажем, что любая точка, принадлежащая серединному перпендикуляру, равноудалена от сторон.

Действительно, возьмём произвольную точку $M$ на серединном перпендикуляре.

Если $M=C$, то очевидно, что $MA=MB$.

Если $M\neq C$, то треугольники $AMC$ и $BMC$ равны по двум катетам, следовательно $AM=MB$.

Обратно, докажем, что любая точка равноудалённая от сторон, принадлежит серединному перпендикуляру.

Возьмём произвольную точку $M$, для которой $MA=MB$.

Если $M=C$, то очевидно, $M$ принадлежит серединному перпендикуляру.

Если $M C$, то треугольник $AMB$ – равнобедренный, и, следовательно, медиана $MC$ является высотой, то есть $MC$ – серединный перпендикуляр.

Все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, в котором точки $M, N$ и $P$ являются серединами сторон $AB, BC$ и $CA$.

Обозначим серединные перпендикуляры к сторонам $AB, BC, AC$ как $m, n, p$.

Докажем, что эти серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Если предположить, что $m\parallel n$, то получится, что $n\perp BA$, так как $m\perp BA$.

Но тогда получится, что через точку $B$ проходят две различные прямые $BA$ и $BC$, перпендикулярные прямой $n$, что невозможно, следовательно, прямые $m$ и $n$ пересекаются.

Пусть они пересекаются в точке $O$.

Тогда по теореме $OA=OB$, так как точка $O\in m$, и $OB=OC$, так как $O\in n$.

Тогда $OA=OC$, и, следовательно, $O\in p$.

Около любого треугольника можно описать окружность, центром которой будет точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Такая окружность единственна.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в точке $O$.

Тогда точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$.

Тогда окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$ будет описанной около данного треугольника.

Докажем, что такая окружность единственна.

Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности.

Тогда, центры этих окружностей равноудалены от вершин треугольника.

Но такая точка только одна – это точка пересечения серединных перпендикуляров.

Кроме того их радиусы равны $OA$, следовательно эти окружности совпадают.

Если все серединные перпендикуляры к сторонам выпуклого многоугольника пересекаются в одной точке, то около него можно описать окружность, центром которой будет точка пересечения серединных перпендикуляров.

Если все серединные перпендикуляры к сторонам выпуклого многоугольника пересекаются в одной точке, то эта точка равноудалена от всех его вершин, и, следовательно, окружность с центром в этой точке и с радиусом, равным расстоянию от этой точки до какой-либо из его вершин, будет описанной около этого многоугольника.

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, в котором проведены высоты $AA_1, BB_1, CC_1$.

Докажем, что все высоты пересекаются в одной точке.

Проведем через точку $B$ прямую, параллельную $AC$, через точку $C$ – прямую, параллельную $AB$, а через точку $A$ – прямую, параллельную $BC$.

Эти прямые, пересекаясь, образуют треугольник $MNP$.

Четырёхугольник $AMBC$ является параллелограммом ($MB\parallel AC$, $MA\parallel BC$).

Аналогично, $ABNC$ – параллелограмм.

Тогда $MB=AC=BN$, как противоположные стороны параллелограмма.

Следовательно, $B$ – середина $MN$, а $BB_1$ – серединный перпендикуляр к отрезку $MN$.

Аналогично, $AA_1$ – серединный перпендикуляр к отрезку $MP$, $CC_1$ – серединный перпендикуляр к отрезку $PN$.

Получается, что $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке, как серединные перпендикуляры треугольника $MNP$.

Если через вершины треугольника провести прямые, параллельные противоположным сторонам, то пересекаясь, они образуют треугольник подобный исходному с коэффициентом $2$. При этом вершины исходного треугольника являются серединами сторон образовавшегося треугольника.

Серединные перпендикуляры треугольника являются высотами серединного треугольника. Следовательно, ортоцентр серединного треугольника является центром окружности, описанной около исходного треугольника.

Утверждение полностью следует из доказательства теоремы.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром треугольника.