Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:chetyre_zamechatelnye_tochki_v_treugolnike

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:chetyre_zamechatelnye_tochki_v_treugolnike [2016/04/08 00:11] (текущий)
labreslav создано
Строка 1: Строка 1:
 +=======Четыре замечательные точки треугольника=======
 +=====Определение=====
 +Окружность называется вписанной в многоугольник,​ если она касается
 +всех его сторон. Многоугольник в таком случае называется описанным.
 +
 +=====Определение=====
 +Окружность называется описанной около многоугольника,​ если она
 +проходит через все его вершины. Многоугольник в таком случае
 +называется вписанным в данную окружность.
 +=====Определение=====
 +Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или
 +центром масс.
 +
 +=====Замечение=====
 +Медианы треугольника пересекаются в одной точке по теореме.
 +
 +=====Теорема о биссектрисе,​ как ГМТ=====
 +Биссектриса неразвернутого угла -- это геометрическое место точек,
 +равноудаленных от его сторон.
 +
 +{{:​math-public:​089a.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим угол $\angle A$.
 +
 +Докажем,​ что любая точка, принадлежащая биссектрисе равноудалена от сторон этого угла.
 +
 +Возьмём произвольную точку $M$ на биссектрисе угла $A$ и опустим из неё перпендикуляры
 +$MB$ и $MC$ на стороны данного угла.
 +
 +Треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому $MB=MC$, и
 +следовательно,​ точка $M$ равноудалена от сторон угла.
 +
 +Обратно:​ докажем,​ что если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на
 +биссектрисе.
 +
 +Возьмём произвольную точку $M$, из которой опущены перпендикуляры $MB$ и $MC$ на стороны угла и при этом $MB=MC$.
 +
 +Докажем,​ что точка $M$ принадлежит биссектрисе.
 +
 +Треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по гипотенузе и катету,​ следовательно,​ $\angle BAM=\angle CAM$,
 +то есть $AM$ -- биссектриса угла $\angle A$.
 +
 +=====Теорема=====
 +Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
 +
 +{{:​math-public:​090.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +
 +====Доказательство====
 +===Первый способ.===
 +
 +Рассмотрим треугольник $ABC$ в котором проведены
 +биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
 +
 +По теореме $\dfrac{AC_1}{C_1B}=\dfrac{AC}{BC},​ \dfrac{BA_1}{A_1C}=\dfrac{AB}{AC},​ \dfrac{CB_1}{B_1A}=\dfrac{BC}{BA}$.
 +
 +Перемножая эти равенства,​ получим:​
 +$\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=\dfrac{AC}{BC}\cdot
 +\dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{BC}{BA}=1$,​ а это по теореме Чевы означает,​
 +что биссектрисы $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной
 +точке.
 +
 +===Второй способ.===
 +Рассмотрим треугольник $ABC$ в котором проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
 +
 +Докажем,​ что все биссектрисы пересекаются в одной точке.
 +
 +Пусть биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $I$.
 +
 +Тогда по теореме $\rho(I;​AB)=\rho(I;​AC)$,​ так как $I\in AA_1$, и $\rho(I;​BA)=\rho(I;​BC)$,​ так как $I\in BB_1$.
 +
 +Тогда $\rho(I;​CA)=\rho(I;​CB)$,​ что означает,​ что $I\in CC_1$, то есть все три биссектрисы пересекаются в одной точке.
 +
 +=====Следствие=====
 +В любой треугольник можно вписать окружность,​ центром которой будет
 +являться точка пересечения его биссектрис. Такая окружность
 +единственна.
 +
 +{{:​math-public:​091.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и обозначим буквой $I$
 +точку пересечения его биссектрис.
 +
 +Проведем из этой точки перпендикуляры $IK, IL$ и $IM$ к сторонам $AB, BC$ и $CA$ соответственно.
 +
 +Так как точка $I$ равноудалена от сторон треугольника,​ то $IK=IL=IM$.
 +
 +Поэтому окружность с центром $I$ радиуса $IK$ проходит через точки $K, L$ и $M$.
 +
 +Стороны треугольника $ABC$ касаются этой окружности в точках $K, L, M$ так
 +как они перпендикулярны к радиусам $IK, IL$ и $IM$.
 +
 +Значит окружность с центром $I$ радиуса $IK$ является вписанной в треугольник $ABC$.
 +
 +Докажем,​ что такая окружность единственна.
 +
 +В самом деле, допустим,​ что в треугольник можно вписать две окружности.
 +
 +Тогда центр каждой окружности равноудалён от сторон треугольника и, значит совпадает с точкой $I$ пересечения биссектрис треугольника,​ а радиус равен расстоянию от точки $I$ до сторон
 +треугольника.
 +
 +Следовательно,​ эти окружности совпадают.
 +
 +=====Следствие=====
 +Если все биссектрисы выпуклого многоугольника пересекаются в одной
 +точке, то в него можно вписать окружность,​ центром которой будет
 +точка пересечения биссектрис.
 +
 +====Доказательство====
 +Если все биссектрисы пересекаются в одной точке, то эта точка будет
 +равноудалена от всех её сторон,​ то есть перпендикуляры к сторонам
 +многоугольника будут равны, а окружность с центром в этой точке и с
 +радиусом,​ равным расстоянию от точки пересечения биссектрис до
 +стороны,​ будет касаться всех сторон.
 +
 +=====Теорема о серединном перпендикуляре,​ как ГМТ=====
 +Серединный перпендикуляр к отрезку -- это геометрическое место
 +точек, равноудаленных от концов отрезка.
 +
 +{{:​math-public:​092.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим отрезок $AB$.
 +
 +Середину отрезка обозначим $C$.
 +
 +Докажем,​ что любая точка, принадлежащая серединному перпендикуляру,​
 +равноудалена от сторон.
 +
 +Действительно,​ возьмём произвольную точку $M$ на серединном перпендикуляре.
 +
 +Если $M=C$, то очевидно,​ что $MA=MB$.
 +
 +Если $M\neq C$, то треугольники $AMC$ и $BMC$ равны по двум
 +катетам,​ следовательно $AM=MB$.
 +
 +Обратно,​ докажем,​ что любая точка равноудалённая от сторон,​ принадлежит серединному
 +перпендикуляру.
 +
 +Возьмём произвольную точку $M$, для которой $MA=MB$.
 +
 +Если $M=C$, то очевидно,​ $M$ принадлежит серединному перпендикуляру.
 +
 +Если $M C$, то треугольник $AMB$ -- равнобедренный,​ и, следовательно,​ медиана $MC$ является высотой,​ то есть $MC$ -- серединный перпендикуляр.
 +
 +=====Следствие=====
 +Все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в
 +одной точке.
 +
 +{{:​math-public:​093.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, в котором точки $M, N$ и
 +$P$ являются серединами сторон $AB, BC$ и $CA$.
 +
 +Обозначим серединные перпендикуляры к сторонам $AB, BC, AC$ как $m,
 +n, p$.
 +
 +Докажем,​ что эти серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.
 +
 +Если предположить,​ что $m\parallel n$, то получится,​ что $n\perp BA$, так как $m\perp BA$.
 +
 +Но тогда получится,​ что через точку $B$ проходят две различные прямые $BA$ и $BC$,
 +перпендикулярные прямой $n$, что невозможно,​ следовательно,​ прямые
 +$m$ и $n$ пересекаются.
 +
 +Пусть они пересекаются в точке $O$.
 +
 +Тогда по теореме $OA=OB$, так как точка $O\in m$, и $OB=OC$, так как
 +$O\in n$.
 +
 +Тогда $OA=OC$, и, следовательно,​ $O\in p$.
 +
 +=====Следствие=====
 +Около любого треугольника можно описать окружность,​ центром которой
 +будет точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
 +Такая окружность единственна.
 +
 +{{:​math-public:​094.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором серединные перпендикуляры к
 +сторонам пересекаются в точке $O$.
 +
 +Тогда точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника,​ то есть $OA=OB=OC$.
 +
 +Тогда окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$ будет описанной около данного
 +треугольника.
 +
 +Докажем,​ что такая окружность единственна.
 +
 +Предположим,​ что в треугольник можно вписать две окружности.
 +
 +Тогда, центры этих окружностей равноудалены от вершин треугольника.
 +
 +Но такая точка только одна -- это точка пересечения серединных перпендикуляров.
 +
 +Кроме того их радиусы равны $OA$, следовательно эти окружности совпадают.
 +
 +=====Следствие=====
 +Если все серединные перпендикуляры к сторонам выпуклого
 +многоугольника пересекаются в одной точке, то около него можно
 +описать окружность,​ центром которой будет точка пересечения
 +серединных перпендикуляров.
 +
 +====Доказательство====
 +Если все серединные перпендикуляры к сторонам выпуклого
 +многоугольника пересекаются в одной точке, то эта точка равноудалена
 +от всех его вершин,​ и, следовательно,​ окружность с центром в этой
 +точке и с радиусом,​ равным расстоянию от этой точки до какой-либо из
 +его вершин,​ будет описанной около этого многоугольника.
 +
 +=====Теорема=====
 +Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
 +
 +{{:​math-public:​095.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, в котором проведены
 +высоты $AA_1, BB_1, CC_1$.
 +
 +Докажем,​ что все высоты пересекаются в одной точке.
 +
 +Проведем через точку $B$ прямую,​ параллельную $AC$, через точку $C$ -- прямую,​ параллельную
 +$AB$, а через точку $A$ -- прямую,​ параллельную $BC$.
 +
 +Эти прямые,​ пересекаясь,​ образуют треугольник $MNP$.
 +
 +Четырёхугольник $AMBC$ является параллелограммом ($MB\parallel AC$, $MA\parallel BC$).
 +
 +Аналогично,​ $ABNC$ -- параллелограмм.
 +
 +Тогда $MB=AC=BN$, как противоположные стороны параллелограмма.
 +
 +Следовательно,​ $B$ -- середина $MN$, а $BB_1$ -- серединный перпендикуляр к отрезку $MN$.
 +
 +Аналогично,​ $AA_1$ -- серединный перпендикуляр к отрезку $MP$, $CC_1$ -- серединный перпендикуляр к отрезку $PN$.
 +
 +Получается,​ что $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке, как серединные перпендикуляры треугольника $MNP$.
 +
 +=====Следствие=====
 +Если через вершины треугольника провести прямые,​ параллельные
 +противоположным сторонам,​ то пересекаясь,​ они образуют треугольник
 +подобный исходному с коэффициентом $2$. При этом вершины исходного
 +треугольника являются серединами сторон образовавшегося
 +треугольника.
 +
 +=====Следствие=====
 +Серединные перпендикуляры треугольника являются высотами серединного
 +треугольника. Следовательно,​ ортоцентр серединного треугольника
 +является центром окружности,​ описанной около исходного треугольника.
 +
 +====Доказательство====
 +Утверждение полностью следует из доказательства теоремы.
 +
 +=====Определение=====
 +Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром
 +треугольника.
  
math-public/chetyre_zamechatelnye_tochki_v_treugolnike.txt · Последние изменения: 2016/04/08 00:11 — labreslav