Формула Брахмагупты
Пусть $a,b,c,d$ – стороны вписанного в окружность четырехугольника, $p$ – его полупериметр, а $S$ – его площадь. Тогда $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$.
Доказательство
Рассмотрим вписанный четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a, BC=b, CD=c, DA=d$.
По теореме косинусов для треугольников $ABC$ и $ACD$: $AC^2=a^2+b^2-2ab\cos{B}$, $AC^2=c^2+d^2-2cd\cos{D}$.
Приравняв правые части этих равенств, получим: $a^2+b^2-2ab\cos{B}=c^2+d^2-2cd\cos{D}$.
Так как четырёхугольник $ABCD$ вписанный, то $\angle B=180^\circ-\angle D$, следовательно, $\cos{D}=-\cos{B}$.
Тогда $a^2+b^2-2ab\cos{B}=c^2+d^2+2cd\cos{B}$.
Возведя это равенство в квадрат, получим $(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=4\cos^2{B}(ab+cd)^2$.
Кроме того $S=S_{ABC}+S_{ACD}=\frac{1}{2}ab\sin{B}+\frac{1}{2}cd\sin{D}$.
Умножив это равенство на $4$ и возведя в квадрат, получим $16S^2=4a^2b^2\sin^2{B}+8abcd\sin{B}\sin{D}+4c^2d^2\sin^2{D}$.
А так как $\angle B=180^\circ-\angle D$, то $\sin{B}=\sin{D}$.
Тогда
$16S^2=4a^2b^2\sin^2{B}+8abcd\sin{B}\sin{B}+4c^2d^2\sin^2{B}=4\sin^2{B}(a^2b^2+2abcd+c^2d^2)=4\sin^2{B}(ab+cd)^2$.
Таким образом $16S^2=4\sin^2{B}(ab+cd)^2$.
Складывая равенства $(1)$ и $(2)$, получим
$16S^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=4\sin^2{B}(ab+cd)^2+4\cos^2{B}(ab+cd)^2=4(ab+cd)^2(\sin^2{B}+\cos^2{B})=(2ab+2cd)^2$
или
$16S^2=(2ab+2cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2)=((a+b)^2-(c-d)^2)((c+d)^2-(a-b)^2)=(a+b-c+d)(a+b+c-d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)=(2p-2c)(2p-2d)(2p-2b)(2p-2a).$
Откуда следует, что $S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)$ или $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$.