math-public:lachernovic
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:lachernovic [2020/02/18 16:29] – labreslav | math-public:lachernovic [2020/02/18 16:37] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 76: | Строка 76: | ||
5. При каких значениях $b$ уравнение имеет 2 корня, | 5. При каких значениях $b$ уравнение имеет 2 корня, | ||
различающиеся в 4 раза? | различающиеся в 4 раза? | ||
+ | |||
+ | **2008 год** | ||
+ | ===== Административная контрольная " | ||
+ | |||
+ | 1. Сравните больший корень уравнения $x^2-4x-1=0$ с меньшим | ||
+ | корнем уравнения $4x^2-52x+149=0$. (3 балла) | ||
+ | |||
+ | 2. Решите уравнение $2x^2-3x=2(13+\sqrt 5)^2-3(13+\sqrt 5)$. | ||
+ | (3 балла) | ||
+ | |||
+ | 3. Составьте какое-либо квадратное уравнение с целыми | ||
+ | коэффициентами, | ||
+ | {x_2\over x_1}$ и $\displaystyle {x_1\over x_2}$, где $x_1$, $x_2$ | ||
+ | -- корни уравнения $3x^2+x-3=0$. (3 балла) | ||
+ | |||
+ | 4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение | ||
+ | $(a-1)x^2+(a^2+2a)x+a+1=0$ имеет два различных корня с одинаковыми | ||
+ | модулями? | ||
+ | |||
+ | 5. а) При каких значениях $b$ уравнение | ||
+ | $bx^2+(2b-1)x+3b=-bx-b$ имеет единственный корень? | ||
+ | |||
+ | б) При каких значениях $b$ уравнение $\displaystyle { | ||
+ | {bx^2+(2b-1)x+3b\over x+1}=-b}$ имеет единственный корень? | ||
+ | балла) | ||
+ | |||
+ | ===== Административная контрольная " | ||
+ | |||
+ | 1. Сравните меньший корень уравнения $x^2-4x+1=0$ с большим | ||
+ | корнем уравнения $2x^2+10x-3=0$. (3 балла) | ||
+ | |||
+ | 2. Решите уравнение $3x^2+5x=3(7-\sqrt {13})^2+5(7-\sqrt | ||
+ | {13})$. (3 балла) | ||
+ | |||
+ | 3. Составьте какое-либо квадратное уравнение с целыми | ||
+ | коэффициентами, | ||
+ | {x_2^2\over x_1}$ и $\displaystyle {x_1^2\over x_2}$, где $x_1$, | ||
+ | $x_2$ -- корни уравнения $2x^2-x-4=0$. (3 балла) | ||
+ | |||
+ | 4. Найдите все значения $b$, при каждом из которых уравнение | ||
+ | $(b+1)x^2+(b^2-3b)x+b-2=0$ имеет два различных корня с одинаковыми | ||
+ | модулями? | ||
+ | |||
+ | 5. а) При каких значениях $a$ уравнение | ||
+ | $2ax^2+(a+1)x+3a=-ax+a$ имеет единственный корень? | ||
+ | |||
+ | б) При каких значениях $a$ уравнение $\displaystyle { | ||
+ | {2ax^2+(a+1)x+3a\over 1-x}=a}$ имеет единственный корень? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | **2009 год** | ||
+ | ===== Административная контрольная " | ||
+ | |||
+ | Дано уравнение $ax^2-2(a-1)x+1=0\ (*)$. | ||
+ | |||
+ | а) Решите уравнение $(*)$ при $a=-2$ и сравните его меньший корень с | ||
+ | числом $t=-{3\over 19}$. | ||
+ | |||
+ | б) При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет корни? | ||
+ | |||
+ | в) Найдите все значения $a$, при каждом из которых число $x={3+\sqrt | ||
+ | 5\over 4}$ является корнем уравнения $(*)$. | ||
+ | |||
+ | г) При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет ровно один корень? | ||
+ | |||
+ | д) При каких значениях $a$ уравнение ${ax^2-2(a-1)x+1\over x-1}=0$ | ||
+ | имеет ровно один корень? | ||
+ | |||
+ | е) Пусть уравнение $(*)$ имеет корни разных знаков. Докажите, | ||
+ | его больший корень больше 2. | ||
+ | |||
+ | ж) Пусть $x_1,x_2$ -- различные корни уравнения $(*)$. При каких | ||
+ | значениях $a$ выполнено неравенство ${1\over x_1}+{1\over x_2}<0$? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Административная контрольная " | ||
+ | |||
+ | Дано уравнение $bx^2-4(b+1)x-1=0\ (*)$. | ||
+ | |||
+ | а) Решите уравнение $(*)$ при $b=2$ и сравните его меньший корень с | ||
+ | числом $t=-{1\over 19}$. | ||
+ | |||
+ | б) При каких значениях $b$ уравнение $(*)$ имеет корни? | ||
+ | |||
+ | в) Найдите все значения $b$, при каждом из которых число $x={2+\sqrt | ||
+ | 2\over 2}$ является корнем уравнения $(*)$. | ||
+ | |||
+ | г) При каких значениях $b$ уравнение $(*)$ имеет ровно один корень? | ||
+ | |||
+ | д) При каких значениях $b$ уравнение ${bx^2-4(b+1)x-1=0\over x-1}=0$ | ||
+ | имеет ровно один корень? | ||
+ | |||
+ | е) Пусть уравнение $(*)$ имеет корни разных знаков. Докажите, | ||
+ | его больший корень больше 4. | ||
+ | |||
+ | ж) Пусть $x_1,x_2$ -- различные корни уравнения $(*)$. При каких | ||
+ | значениях $b$ выполнено неравенство ${1\over x_1}+{1\over x_2}<0$? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | **2010 год** | ||
+ | ===== Административная контрольная " | ||
+ | |||
+ | Дано уравнение $ax^2+(2a-1)x-a+2=0\ (*)$. | ||
+ | |||
+ | а) Может ли число $\sqrt 2-1$ быть корнем уравнения $(*)$ при каком-либо значении $a$? В случае ответа " | ||
+ | |||
+ | б) При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет корни? | ||
+ | |||
+ | в) При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет ровно один корень? | ||
+ | |||
+ | г) При каких значениях $a$ уравнение $\displaystyle {ax^2+(2a-1)x-a+2\over x+2}=0$ | ||
+ | имеет ровно один корень? | ||
+ | |||
+ | д) Докажите, | ||
+ | |||
+ | е) Пусть уравнение $(*)$ имеет корни разных знаков. Докажите, | ||
+ | его меньший корень меньше $-{3\over 2}$. | ||
+ | |||
+ | ж) Пусть $x_1,x_2$ -- различные корни уравнения $(*)$. При каких | ||
+ | значениях $a$ выполнено неравенство ${1\over x_1}+{1\over x_2}\le 4$? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Административная контрольная " | ||
+ | |||
+ | Дано уравнение $bx^2+(b-1)x-b+3=0\ (*)$. | ||
+ | |||
+ | а) Может ли число ${\sqrt 5-1\over 2}$ быть корнем уравнения $(*)$ при каком-либо значении $b$? В случае ответа " | ||
+ | |||
+ | б) При каких значениях $b$ уравнение $(*)$ имеет корни? | ||
+ | |||
+ | в) При каких значениях $b$ уравнение $(*)$ имеет ровно один корень? | ||
+ | |||
+ | г) При каких значениях $b$ уравнение $\displaystyle {bx^2+(b-1)x-b+3\over x-1}=0$ | ||
+ | имеет ровно один корень? | ||
+ | |||
+ | д) Докажите, | ||
+ | |||
+ | е) Пусть уравнение $(*)$ имеет корни разных знаков. Докажите, | ||
+ | его меньший корень меньше $-{2\over 3}$. | ||
+ | |||
+ | ж) Пусть $x_1,x_2$ -- различные корни уравнения $(*)$. При каких | ||
+ | значениях $b$ выполнено неравенство ${1\over x_1}+{1\over x_2}\le 3$? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | **2011 год** | ||
+ | ===== Административная контрольная " | ||
+ | |||
+ | 1. Сравните больший корень уравнения $x^2-6x-2=0$ с числом | ||
+ | $6{1\over 6}$. (2 балла) | ||
+ | |||
+ | 2. Решите уравнение $3x^2-2x=3\cdot (11+\sqrt 6)^2-2\cdot | ||
+ | (11+\sqrt 6)$. (3 балла) | ||
+ | |||
+ | 3. Составьте какое-либо квадратное уравнение с целыми | ||
+ | коэффициентами, | ||
+ | {x_2+1\over x_1}$ и $\displaystyle {x_1+1\over x_2}$, где $x_1$, | ||
+ | $x_2$ -- корни уравнения $3x^2+x-1=0$. (3 балла) | ||
+ | |||
+ | 4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение | ||
+ | $(a+1)x^2+(a^2-3a)x-a+1=0$ имеет два различных корня с одинаковыми | ||
+ | модулями? | ||
+ | |||
+ | 5. а) При каких значениях $a$ уравнение $(a+1)x^2-2(a-1)x+a=0$ имеет один корень? | ||
+ | |||
+ | б) При каких значениях $a$ уравнение $\displaystyle{{(a+1)x^2-2(a-1)x+a\over x-2}=0}$ имеет более одного корня? (4 балла) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Административная контрольная " | ||
+ | |||
+ | 1. Сравните меньший корень уравнения $x^2-4x+2=0$ с числом | ||
+ | ${5\over 9}$. (2 балла) | ||
+ | |||
+ | 2. Решите уравнение $2x^2+2x=2\cdot (13-\sqrt 7)^2+2\cdot | ||
+ | (13-\sqrt 7)$. (3 балла) | ||
+ | |||
+ | 3. Составьте какое-либо квадратное уравнение с целыми | ||
+ | коэффициентами, | ||
+ | {x_2-1\over x_1}$ и $\displaystyle {x_1-1\over x_2}$, где $x_1$, | ||
+ | $x_2$ -- корни уравнения $2x^2-3x-1=0$. (3 балла) | ||
+ | |||
+ | 4. Найдите все значения $b$, при каждом из которых уравнение | ||
+ | $(b-1)x^2+(b^2+2b)x-b-1=0$ имеет два различных корня с одинаковыми | ||
+ | модулями? | ||
+ | |||
+ | 5. а) При каких значениях $b$ уравнение $(b-1)x^2-2(b+1)x+b=0$ имеет один корень? | ||
+ | |||
+ | б) При каких значениях $a$ уравнение $\displaystyle{{(b-1)x^2-2(b+1)x+b\over x+2}=0}$ имеет более одного корня? (4 балла) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | **2012 год** | ||
+ | ===== Административная контрольная " | ||
+ | |||
+ | Дано уравнение $ax^2-2(a-2)x+a+1=0$ (I). | ||
+ | |||
+ | 1. Пусть $a=-3$ и $x_1$ -- меньший корень уравнения (I). Вычислите $6x_1^2-19x_1+3$. | ||
+ | |||
+ | 2. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение (I) имеет одним из своих корней число ${4-\sqrt {14}\over 2}$. | ||
+ | |||
+ | 3. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение (I) имеет ровно один корень. | ||
+ | |||
+ | 4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение (I) имеет два корня одного знака. | ||
+ | |||
+ | 5. При каких значениях $a$ сумма величин, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Административная контрольная " | ||
+ | |||
+ | Дано уравнение $bt^2+4(b-1)t+4b-3=0$ (I). | ||
+ | |||
+ | 1. Пусть $b=-3$ и $t_1$ -- больший корень уравнения (I). Вычислите $6t_1^2+31t_1+31$. | ||
+ | |||
+ | 2. Найдите все значения $b$, при каждом из которых уравнение (I) имеет одним из своих корней число ${-6+\sqrt {14}\over 2}$. | ||
+ | |||
+ | 3. Найдите все значения $b$, при каждом из которых уравнение (I) имеет ровно один корень. | ||
+ | |||
+ | 4. Найдите все значения $b$, при каждом из которых уравнение (I) имеет два корня одного знака. | ||
+ | |||
+ | 5. При каких значениях $b$ сумма величин, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | **2013 год**\\ | ||
+ | **Административная контрольная работа << | ||
+ | |||
+ | Дано уравнение $ax^2+(a+4)x-6=0$ $(*)$. | ||
+ | |||
+ | **1.** При $a=2$ пусть $x_1$ -- меньший корень уравнения $(*)$. Вычислите $2x_1^2+7x_1-3$. | ||
+ | |||
+ | **2.** Пусть $a=4$ и $x_1< | ||
+ | |||
+ | **3.** При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет единственный корень? | ||
+ | |||
+ | **4.** При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$, удовлетворяющих условию $\displaystyle{{1\over x_1}+{1\over x_2}< | ||
+ | |||
+ | **5.** При каких значениях $a$ уравнение $\displaystyle{{ax^2+(a+4)x-6\over x+2}=0}$ имеет 2 различных корня? | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | **Административная контрольная работа << | ||
+ | |||
+ | Дано уравнение $ax^2+(a+2)x-1=0$ $(*)$. | ||
+ | |||
+ | **1.** При $a=1$ пусть $x_1$ -- больший корень уравнения $(*)$. Вычислите $3x_1^2+10x_1-3$. | ||
+ | |||
+ | **2.** Пусть $a=2$ и $x_1> | ||
+ | |||
+ | **3.** При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет единственный корень? | ||
+ | |||
+ | **4.** При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$, удовлетворяющих условию $\displaystyle{{1\over x_1}+{1\over x_2}< | ||
+ | |||
+ | **5.** При каких значениях $a$ уравнение $\displaystyle{{ax^2+(a+2)x-1\over x+2}=0}$ имеет 2 различных корня? | ||
+ | |||
+ | **2014 год** | ||
+ | ===I вариант=== | ||
+ | |||
+ | Дано уравнение $(a-2)x^2+2ax-a-1=0$ $(*)$. | ||
+ | |||
+ | - При $a=4$ решите уравнение $(*)$ и сравните его больший корень с большим корнем уравнения $16x^2+48x-19=0$. | ||
+ | - Пусть $x_1> | ||
+ | - При каких значениях $a$ расстояние между точками, | ||
+ | - Найдите все значения $a$, при каждом из которых сумма двух различных корней уравнения $(*)$ равна $-a$? | ||
+ | - При | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===II вариант=== | ||
+ | Дано уравнение $bx^2+4(b+1)x+2b+1=0$ $(*)$. | ||
+ | |||
+ | - При $b=2$ решите уравнение $(*)$ и сравните его больший корень с большим корнем уравнения $16x^2+80x+45=0$. | ||
+ | - Пусть $x_1> | ||
+ | - При каких значениях $b$ расстояние между точками, | ||
+ | - Найдите все значения $b$, при каждом из которых сумма двух различных корней уравнения $(*)$ равна $-b-1$? | ||
+ | - При | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | **2015 год** | ||
+ | |||
+ | ===Вариант I=== | ||
+ | Дано уравнение $ay^2-2(a^2+2)y+9a=0$ $(*)$ | ||
+ | - Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(*)$ имеет корень $\dfrac{9+\sqrt{45}}{2}$. | ||
+ | - Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(*)$ имеет ровно один корень. | ||
+ | - При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет два различных корня $y_1$ и $y_2$, удовлетворяющих условию $a\cdot\left(\dfrac{1}{y_1}+\dfrac{1}{y_2}\right)< | ||
+ | - Найдите $a$ и $b$ такие, что при всех значениях $y$ выполнено равенство $ay^2-2(a^2+2)y+9a=a\cdot(y-3)(y-4)+b$. | ||
+ | - Докажите, | ||
+ | - При каких $c$ существуют $a$ и $b$ такие, что при всех значениях $y$ выполнено равенство $ay^2-2(a^2+2)y+9a=a\cdot(y-c)(y-c-1)+b$? | ||
+ | |||
+ | ===Вариант II=== | ||
+ | Дано уравнение $bt^2-2(3b^2+1)t+16b=0$ $(*)$ | ||
+ | - Найдите все значения $b$, при каждом из которых уравнение $(*)$ имеет корень $\dfrac{13-\sqrt{105}}{2}$. | ||
+ | - Найдите все значения $b$, при каждом из которых уравнение $(*)$ имеет ровно один корень. | ||
+ | - При каких значениях $b$ уравнение $(*)$ имеет два различных корня $t_1$ и $t_2$, удовлетворяющих условию $b\cdot\left(\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}\right)< | ||
+ | - Найдите $a$ и $b$ такие, что при всех значениях $t$ выполнено равенство $bt^2-2(3b^2+1)t+16b=b\cdot(t+5)(t+4)+a$. | ||
+ | - Докажите, | ||
+ | - При каких $c$ существуют $a$ и $b$ такие, что при всех значениях $t$ выполнено равенство $bt^2-2(3b^2+1)t+16b=b\cdot(t+c)(t+c+1)+a$? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | **2017 год** | ||
+ | |||
+ | ===Вариант I=== | ||
+ | Дана функция $f(x)=a^2x^2+2(a+1)x+a-1$. | ||
+ | - Пусть $a=2$. Решите уравнение $f(x)=0$. | ||
+ | - При каких значениях $a$ число $x=\dfrac{-3-\sqrt{5}}{4}$ имеет два различных корня? | ||
+ | - При каких значениях $a$ уравнение $f(x)=-2$ имеет два различных корня? | ||
+ | - Докажите, | ||
+ | - При каких значениях $a$ уравнение $f(x)=-2$ имеет два различных корня, один из которых равен удвоенному второму? | ||
+ | - При каких значениях $a$ уравнение $\dfrac{a^2x^2+2(a+1)x+a+1}{x+2}=0$ имеет два различных корня? Ответ запишите в виде объединения промежутков. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===Вариант II=== | ||
+ | Дана функция $g(x)=b^2x^2+2(b-1)x-b-1$. | ||
+ | - Пусть $b=2$. Решите уравнение $g(x)=0$. | ||
+ | - При каких значениях $b$ число $x=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{4}$ является корнем уравнения $g(x)=0$? | ||
+ | - При каких значениях $b$ уравнение $b$ уравнение $g(x)=-2$ имеет два различных корня? | ||
+ | - Докажите, | ||
+ | - При каких значениях $b$ уравнение $g(x)=-2$ имеет два различных корня, один из которых равен утроенному второму? | ||
+ | - При каких значениях $b$ уравнение $\dfrac{b^2x^2+2(b-1)x-b+1}{x-2}=0$ имеет два различных корня? Ответ запишите в виде объединения промежутков. | ||
math-public/lachernovic.txt · Последнее изменение: 2020/02/18 16:37 — labreslav