Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:neravenstvo-treugolnika [2016/05/05 13:01] – создано labreslav
+++ math-public:neravenstvo-treugolnika [2020/12/25 20:46] (текущий) – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+====== Неравенство треугольника ======
+===== Теорема =====
+  - Против большей стороны треугольника лежит больший угол.
+  - Против большего угла треугольника лежит большая сторона.
+[[http://wiki.sch239.net/lib/exe/fetch.php?media=math-public:014.jpg|{{:math-public:014.jpg?direct&300|014.jpg}}]]
+==== Доказательство ====
+=== Докажем первый пункт теоремы. ===
+Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$.
+Пусть $AB>AC$.
+Докажем, что $\angle C>\angle B$.
+Отложим на стороне $AB$ отрезок $AD$, равный стороне $AC$.
+Так как $A D
+Следовательно, угол $\angle 1$ является частью угла $C$ и, значит, $\angle C<\angle 1$.
+Угол $\angle 2$ – внешний угол треугольника $BDC$, поэтому $\angle 2>\angle B$.
+Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ равны, как углы при основании равнобедренного треугольника $ADC$.
+Таким образом, $\angle C>\angle 1=\angle 2>\angle B$.
+=== Докажем второй пункт теоремы. ===
+Пусть в треугольнике $ABC$ $\angle C>\angle B$.
+Докажем, что $AB>AC$.
+Предположим противное.
+Тогда либо $A B=A C,$ либо $A B<A C .$
+В первом случае треугольник $ABC$ – равнобедренный и, значит, $\angle C=\angle B$.
+Во втором случае $\angle B>\angle C$ (против большей стороны лежит больший угол).
+И то, и другое противоречит условию $\angle C>\angle B$.
+Поэтому предположение неверно, и, следовательно, $AB>AC$.
+===== Следствие =====
+Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.
+===== Следствие =====
+Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр и наклонные, то перпендикуляр короче наклонных, а большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.
+===== Неравенство треугольника =====
+Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
+[[http://wiki.sch239.net/lib/exe/fetch.php?media=math-public:015.jpg|{{:math-public:015.jpg?direct&300|015.jpg}}]]
+==== Доказательство ====
+Рассмотрим треугольник $ABC$ и докажем, что $AB
+=== Первый способ. ===
+Отложим на продолжении стороны $AC$ отрезок $CD$, равный стороне $CB$.
+В равнобедренном треугольнике $BCD$ $\angle 1=\angle 2$, а в треугольнике $ABD$ $\angle ABD>\angle 1$ и, значит, $\angle ABD>\angle 2$.
+Тогда по теореме $A B<A D=A C+C D=A C+C B .$
+=== Второй способ. ===
+По теореме косинусов $AB=\sqrt{AC^2+CB^2-2\cdot AB \cdot AC\cdot \cos{\hat{C}}}<\sqrt{AC^2+CB^2+2\cdot AB \cdot AC}=|AC + CB|<|AC|+|CB|=AC+CB$.
+Здесь в первом неравенстве использовали то, что $\cos{\hat{C}}\geq-1$, а в последнем неравенстве использовали алгебраическое свойства модуля: $|a+b|<|a|+|b|$.