Определение 1. Функция $f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует число $B\in \mathbb{R}$ такое, что для всех $x\in D_f$ выполняется неравенство $f(x)\leqslant B$, т.е. $$\exists B\in \mathbb{R}: \forall x\in D_f\ \ f(x)\leqslant B .$$
- $\exists B\in \mathbb{R}: \forall x\in D_f\ \ f(x)\leqslant B .$
- $\forall x\in D_f\ \ \exists B\in \mathbb{R}: \ \ f(x)\leqslant B .$
- $\exists B\in \mathbb{R}: \exists x\in D_f\ \ f(x)\leqslant B .$
- $\exists B\in \mathbb{R}: f(x)\leqslant B .$
- $\forall B\in \mathbb{R}\ \ \exists x\in D_f:\ \ f(x)\leqslant B .$
- $\forall B\in \mathbb{R}\ \ \forall x\in D_f:\ \ f(x)\leqslant B .$
Определение 2. Функция $f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует число $A \in \mathbb{R}$ такое, что для всех $x \in D(f)$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x)\geqslant A$, т.е. $$\exists A \in \mathbb{R}: \forall x \in D(f)\ \ f(x)\geqslant A .$$
Определение 3. Функция $f(x)$ называется ограниченной, если она одновременно ограничена сверху и снизу, т.е. существуют такие числа $A,B \in \mathbb{R}$, что для всех $x \in D(f)$ выполняется двойное неравенство $A \leqslant f(x)\leqslant B$, т.е. $$\forall A,B \in \mathbb{R}: \forall x \in D(f)\ \ A\leqslant f(x)\leqslant B .$$
Определение 4. Если существует такая точка $x_1 \in D(f)$, что для всех $x \in D(f)$ выполняется неравенство $f(x) \leqslant f(x_1)$, то говорят, что функция $f(x)$ в точке $x_1$ принимает наибольшее значение, а само число $M=f(x_1)$ называется наибольшим значением функции.
Определение 5. Если существует такая точка $x_2 \in D(f)$, что для всех $x \in D(f)$ выполняется неравенство $f(x)\geqslant f(x_2)$, то говорят, что функция $f(x)$ в точке $x_2$ принимает наименьшее значение, а само число $m=f(x_2)$ называется наименьшим значением функции.
Определение 6. Функция $f$ называется строго возрастающей на множестве $A \subset D(f)$, если для любых значений аргумента $x_1,x_2 \in A$, таких, что $x_2>x_1$, выполняется неравенство $f(x_2)>f(x_1)$.
Определение 7. Функция $f$ называется строго убывающей на множестве $A \subset D(f)$, если для любых значений аргумента $x_1,x_2 \in A$, таких, что $x_2>x_1$, выполняется неравенство $f(x_2)<f(x_1)$.
Определение 8. Функция $f$ называется нестрого возрастающей на множестве $A \subset D(f)$, если для любых значений аргумента $x_1,x_2 \in A$, таких, что $x_2>x_1$, выполняется неравенство $f(x_2)\geqslant f(x_1)$.
Определение 9. Функция $f$ называется нестрого убывающей на множестве $A \subset D(f)$, если для любых значений аргумента $x_1,x_2 \in A$, таких, что $x_2>x_1$, выполняется неравенство $f(x_2)\leqslant f(x_1)$.
Определение 10. Точка $x_0 \in D(f)$ называется точкой строгого максимума функции, если существует такой интервал $(x_0 - \delta;x_0 + \delta) \subset D(f)$, что для всех $x$ из этого интервала, кроме самой точки $x_0$, выполняется неравенство $f(x) < f(x_0)$, т.е. $$\exists \delta>0: \forall x\in (x_0-\delta;x_0+\delta)\setminus\{x_0\}\ \ f(x)<f(x_0) .$$
Определение 11. Точка $x_0 \in D(f)$ называется точкой строгого минимума функции, если существует такой интервал $(x_0 - \delta;x_0 + \delta) \subset D(f)$, что для всех $x$ из этого интервала, кроме самой точки $x_0$, выполняется неравенство $f(x) > f(x_0)$, т.е. $$\exists \delta>0: \forall x\in (x_0-\delta;x_0+\delta)\setminus\{x_0\}\ \ f(x)>f(x_0) .$$
Определение 12. Функция $f(x)$ называется чётной, если $\forall x_0\in D(f)$ выполняется равенство $f(-x_0)=f(x_0)$, при этом множество $D_f$ должно быть симметрично относительно нуля.
Определение 13. Функция $f(x)$ называется нечётной, если $\forall x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x_0)=-f(x_0)$, при этом множество $D_f$ должно быть симметрично относительно нуля.
Определение 14. Функция общего вида — функция, не являющаяся ни чётной, ни нечётной.
Определение 15. Образ всей области определения функции $f: X \rightarrow Y$, т.е. образ самого множества $X$, называется множеством значений функции и обозначается $E(f): f(X)=E(f)$.
Определение 16. Понятие функции: Пусть заданы некоторые множества $X$ и $Y$ произвольной природы и закон $f$, который каждому элементу $x$ множества $X$ ставит в соответствие ровно один элемент $у$ множества $Y: \forall x \in X \stackrel{f}{\rightarrow} y \in Y .$
Тогда говорят что на множестве $X$ задана функция $f$ со значениями в множестве $Y$ и пишут: $f: X\rightarrow Y$.
Определение 17. Если при отображении $f: X\rightarrow Y$ элемент $x_0 \in X$ переходит в элемент $y_0 \in Y$, то говорят, что $y_0$ есть образ элемента $x_0$.
Определение 18. Пусть $y_0 \in Y$. Множество всех элементов $x \in X$, образом каждого из которых является $y_0$, называется прообразом элемента $y_0$ и обозначается $$f^{-1}(y_0)=\left\{x \in X|f(x) = y_0\right\} .$$
Определение 19. Образом множества $A \subset X$ называется множество образов всех элементов $x \in A$. Образ множества $A$ обозначается $f(A)$: $$f(A)=\left\{y \in Y|y= f(x),x \in A\right\} .$$
Определение 20. Прообразом множества $B \subset Y$ называется объединение прообразов всех элементов $y \in B$. Прообраз множества $B$ обозначается $f^{-1} (B)$.