Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:opredelenie_sinusa

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:opredelenie_sinusa [2016/04/07 22:56] (текущий)
labreslav создано
Строка 1: Строка 1:
 +=====Общее определение синуса=====
 +  - Синус острого угла равен отношению перпендикуляра к наклонной.
 +  - Синус тупого угла равен синусу смежного острого угла.
 +  - Синус прямого угла равен единице.
 +  - Синус развернутого угла равен нулю.
 +
 +=====Корректность определения синуса=====
 +Пусть из точки $B$, лежащей на стороне $p$ острого угла $A$, опущен
 +перпендикуляр $BC$ на сторону $q$ этого угла. Тогда отношение
 +перпендикуляра $BC$ к наклонной $BA$ не зависит от выбора точки $B$.
 +
 +{{:​math-public:​064.jpg?​direct&​300|}}{{:​math-public:​064b.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +===Первый способ (не использует подобия).===
 +На стороне $q$ выберем любую точку $M$.
 +
 +Выразим площадь $S$ треугольника $ABM$ двумя способами.
 +
 +С одной стороны,​ $S=\dfrac{1}{2}ma$,​ где $a=BC, m=AM$.
 +
 +C другой стороны,​ $S=\dfrac{1}{2}ch$,​ где $h=MD$ -- высота треугольника $ABM$ и $c=BA$. ​
 +
 +Поэтому $ma=ch$ или $\dfrac{a}{c}=\dfrac{h}{m}$.
 +
 +Если на стороне $p$ взять другую точку $B_1$ и повторить проведенные рассуждения,​ то снова получим,​ что $\dfrac{a_1}{c_1}=\dfrac{h}{m}$,​ где $a_1=B_1C, c_1=AB_1$.
 +
 +Поэтому $\dfrac{a_1}{c_1}=\dfrac{a}{c}$.
 +
 +Отношение перпендикуляра к наклонной не зависит от того, на какую
 +сторону угла опущен перпендикуляр.
 +
 +Действительно,​ пусть, как и раньше,​ $M$ -- точка на стороне $q$ угла $A$ и $MD\perp p$. 
 +
 +Вернемся к равенству $\dfrac{a}{c}=\dfrac{h}{m}$
 +
 +В правой части этого равенства стоит отношение перпендикуляра к наклонной,​ которое с
 +выбором точки $M$ не связано.
 +
 +Значит правая часть этого равенства от выбора точки $M$ не зависит.
 +
 +===Второй способ (использует подобие).===
 +Если на стороне $p$ взять точки $B$ и $B_1$ и опустить из них
 +перпендикуляры $BC$ и $B_1C_1$ к стороне $q$ угла $A$, то
 +треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ будут подобны по двум углам.
 +
 +Следовательно,​ $\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{B_1C_1}{AB_1}$.
 +
 +Отношение перпендикуляра к наклонной не зависит от того, на какую сторону угла опущен
 +перпендикуляр.
 +
 +Действительно,​ пусть, как и раньше,​ $M$ -- точка на стороне $q$ угла $A$ и $MD\perp p$.
 +
 +Треугольники $ADM$ и $ABC$ подобны по двум углам ($\angle A$ -- общий).
 +
 +Следовательно,​ $\dfrac{MD}{AM}=\dfrac{BC}{AB}$,​ а отношение,​ стоящее в правой части
 +этого равенства не зависит от выбора точки $M$.
 +
 +
 +=====Теорема=====
 +Синусы углов, имеющих равные величины,​ равны.
 +
 +{{:​math-public:​069.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Возьмем два равных острых угла: $\angle A$ и $\angle M$.
 +
 +Из некоторой точки $B$ на стороне угла $A$ опустим перпендикуляр
 +$BC$ на другую сторону угла $A$.
 +
 +Получим прямоугольный треугольник $ABC$.
 +
 +Отложим на сторонах угла $M$ отрезки $MP=AB$ и $MQ=AC$.
 +
 +Тогда $\triangle MPQ=\triangle ABC$ по первому признаку равенства.
 +
 +Поэтому $\angle Q=\angle C=90^\circ$.
 +
 +Итак $PQ$ -- перпендикуляр,​ опущенный из точки $P$ одной стороны угла $M$ на другую его сторону.
 +
 +Но тогда $\sin{\angle A}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{PQ}{PM}=\sin{\angle M}$.
  
math-public/opredelenie_sinusa.txt · Последние изменения: 2016/04/07 22:56 — labreslav