Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:ponyatie_ploshchadi [2017/04/11 16:42] – labreslav
+++ math-public:ponyatie_ploshchadi [2019/11/06 23:39] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=======Площадь=======
+======Понятие площади======
+=====Определение=====
+Многоугольной фигурой называется объединение конечного числа многоугольников.
+=====Определение=====
+Для многоугольных фигур площадью называется величина, обладающая свойствами:
+  - Площадь неотрицательна.
+  - Если фигура составлена из нескольких многоугольных фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур.
+  - Равные фигуры имеют одну и ту же площадь.
+  - Площадь единичного квадрата равна $1$.
+=====Замечание======
+Площадь квадрата со стороной $1$ называют квадратной единицей площади.
+=====Теорема=====
+Площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$.
+====Доказательство====
+===Первый случай===
+{{:math-public:1_240.jpg?direct&150|}}
+Начнем с того случая, когда $a=\dfrac{1}{n}$, где $n$ --- целое число.
+Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на $n^2$ равных квадратов, так как показано на рисунке.
+Так как площадь большого квадрата равна $1$, то площадь каждого маленького квадрата равна $\dfrac{1}{n^2}$.
+Сторона каждого маленького квадрата равна $\dfrac{1}{n}$, то есть $a$.
+Итак, $S=\dfrac{1}{n^2}=\left(\dfrac{1}{n}\right)^2=a^2$.
+===Второй случай===
+{{:math-public:1_241.jpg?direct&150|}}
+Пусть теперь число $a$ представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую $n$ знаков после запятой (в частности, число $a$ может быть целым, когда $n=0$).
+Тогда число $m=a\cdot 10^n$ целое.
+Разобьем данный квадрат со стороной $a$ на $m^2$ равных квадратов так, как показано на рисунке.
+При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на $m$ равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна $\dfrac{a}{m}=\dfrac{a}{a\cdot 10^n}=\dfrac{1}{10^n}$.
+По первому случаю площадь маленького квадрата равна $\left(\dfrac{1}{10^n}\right)^2$.
+Следовательно, площадь $S$ данного квадрата равна $m^2\cdot \left(\dfrac{1}{10^n}\right)^2=\left(\dfrac{m}{10^n}\right)^2=\left(\dfrac{a\cdot 10^n}{10^n}\right)^2=a^2$.
+===Третий случай===
+{{:math-public:1_242.jpg?direct&300|}}
+Пусть число $a$ представляет собой бесконечную десятичную дробь.
+Рассмотрим число $a_n$, получаемое из $a$ отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с $(n+1)$-ого.
+Так как число $a$ отличается от $a_n$ не более чем на $\dfrac{1}{10^n}$, то $a_n\leqslant a\leqslant a_n+\dfrac{1}{10^n}$.
+Тогда $a_n^2\leqslant a^2\leqslant \left(a_n+\dfrac{1}{10^n}\right)^2\ \ (1)$.
+Кроме того, ясно, что площадь $S$ данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной $a_n$ и площадью квадрата со стороной $a_n+\dfrac{1}{10^n}$, то есть между числами $a_n^2$ и $\left(a_n+\dfrac{1}{10^n}\right)^2$:
+$a_n^2\leqslant S\leqslant \left(a_n+\dfrac{1}{10^n}\right)^2\ \ (2)$.
+Будем неограниченно увеличивать число $n$.
+Тогда число $\dfrac{1}{10^n}$ будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число $\left(a_n+\dfrac{1}{10^n}\right)^2$ будет сколь угодно мало отличаться от числа $a_n^2$.
+Поэтому из неравенств $(1)$ и $(2)$ следует, что число $S$ сколь угодно мало отличается от числа $a^2$.
+Следовательно, эти числа равны $S=a^2$, что и требовалось доказать.