Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:pravilnye-mnogougolniki-treugolnik

Правильный треугольник

Теорема

В правильном треугольнике верны следующие соотношения:

  1. $\alpha=60^\circ$.
  2. $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
  3. $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
  4. $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.
  5. $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
  6. $R=2r$.

Доказательство

  1. $\alpha=\dfrac{180^\circ}{3}=60^\circ$.
  2. $S=\dfrac{1}{2}a^2\sin{60^\circ}=\dfrac{1}{2}a^2\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
  3. $h=\dfrac{2S}{a}=\dfrac{\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}}{a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
  4. $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{3a}{2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
  5. $R=\dfrac{a^3}{4S}=\dfrac{a^3}{a^2\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
  6. $R=2r$, в силу предыдущих двух пунктов.
math-public/pravilnye-mnogougolniki-treugolnik.txt · Последнее изменение: 2016/05/05 11:57 — labreslav