Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:proekciya-vectora [2016/10/04 19:42] – [Замечание] labreslav
+++ math-public:proekciya-vectora [2017/06/12 23:56] (текущий) – [Теорема (о вычислении проекции вектора)] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+====Определение====
+Проекцией точки  $M$  на прямую  $a$  называется основание перпендикуляра, проведенного из точки  $M$  к прямой  $a$ , если точка  $M$  не лежит на прямой  $a$ , и сама точка  $M$ , если она лежит на прямой  $a$ .
+====Определение====
+Проекцией отрезка на прямую  $a$  называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую  $a$ .
+====Теорема====
+Проекцией отрезка, лежащего на одной из сторон острого угла на другую сторону является отрезок.
+{{:math-public:pic111.png?direct&300|}}
+{{:math-public:pic112.png?direct&300|}}
+===Доказательство===
+Рассмотрим острый угол  $\angle POQ$  и отрезок  $AB$ , лежащий на стороне  $OP$  этого угла (рис. 111, а). Пусть  $A_1$  и  $B_1$  – проекции точек  $A$  и  $B$  на прямую  $OQ$ .
+Наглядно видно, что отрезок  $A_1B_1$  является проекцией отрезка  $AB$  на прямую  $OQ$ . Однако этот факт требует обоснования: нужно доказать, что проекция каждой точки отрезка  $AB$  лежит на отрезке  $A_1B_1$  и, обратно, каждая точка отрезка  $A_1B_1$  является проекцией некоторой точки отрезка  $AB$ .
+Начнем с доказательства первого утверждения.
+Пусть  $M_1$  – проекция точки  $M$  отрезка  $AB$  на прямую  $OQ$  (рис. 111, б). Докажем, что точка  $M_1$  лежит на отрезке  $A_1B_1$ . Так как прямые  $AA_1$  и  $MM_1$  перпендикулярны к прямой  $OQ$ , то они не пересекаются, поэтому точка  $A_1$  лежит по ту же сторону от прямой  $MM_1$ , что и точка  $A$ . По аналогичной причине точка  $B_1$  лежит по ту же сторону от прямой  $MM_1$ , поскольку эта прямая пересекает отрезок  $AB$ .
+Следовательно, точки  $A_1$  и  $B_1$  также лежат по разные стороны от прямой  $MM_1$ , поэтому точка  $M_1$  лежит между точками  $A_1$  и  $B_1$ , т. е. лежит на отрезке  $A_1B_1$ . Первая часть утверждения доказана.
+Пусть теперь  $M_1$  – произвольная точка отрезка  $A_1B_1$ . Докажем, что она является проекцией некоторой точки отрезка  $AB$ . Проведем прямую  $M_1N$ , перпендикулярную прямой  $OQ$  (рис. 111, в). Точки  $A$  и  $A_1$  лежат по одну сторону от этой прямой (поскольку прямые  $AA_1$  и  $M_1N$  не пересекаются), точки  $B$  и  $B_1$  также лежат по одну сторону от прямой  $M_1N$ , а точки  $A_1$  и  $B_1$  лежат по разные стороны от этой прямой. Следовательно, точка  $A$  и  $B$  также лежат по разные стороны от прямой  $M_1N$ , и поэтому прямая  $M_1N$  пересекает отрезок  $AB$  в некоторой точке  $M$  (рис. 111, г). Проекцией этой точки на прямую  $OQ$  и является точка  $M_1$ . Утверждение доказано.
+Отметим, что точка  $A_1$  и  $B_1$  лежат на стороне  $OQ$  угла  $POQ$ , а не на ее продолжении. В самом деле, если предположить, что точка  $A_1$  лежит на продолжении стороны  $OQ$  (рис. 112), то получается треугольник  $AA_1O$  с прямым углом  $A_1$  и тупым углом  $O$ , чего не может быть.
+=====Определение=====
+Проекцией вектора  $\overrightarrow{AB}$  на прямую  $p$  называется вектор  $\overrightarrow{A_1B_1}$ , где  $A_1$  и  $B_1$  -- это проекции точек  $A$  и  $B$  на прямую  $p$ . Проекцию вектора  $\overrightarrow{AB}$  на прямую  $p$  обозначают так:  $\overrightarrow{A_1B_1}=pr_{p}{\overrightarrow{AB}}$  или так  $\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{pr_{p}{\overrightarrow{AB}}}$ .
+====Определение====
+Углом между двумя ненулевыми векторами называется величина образуемого ими угла, когда они отложены от одной точки. Если векторы сонаправлены, то угол между ними считается равным  $0^\circ$ . Если векторы направлены противоположно, то угол между ними равен  $180^\circ$ .
+====Теорема====
+Угол между векторами не зависит от выбора точки, от которой они откладываются.
+===Доказательство===
+Для коллинеарных векторов утверждение теоремы очевидно. Докажем теорему для неколлинеарных векторов.
+Пусть  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  -- два неколлинеарных вектора. Отложим их от точки  $O$ , тогда  $\overrightarrow{OA}=\vec{a}, \overrightarrow{OB}=\vec{b}$ , и от точки  $O_1$ , тогда  $\overrightarrow{O_1A_1}=\vec{a}, \overrightarrow{O_1B_1}=\vec{b}$ .
+Пусть прямые  $OA$  и  $O_1B_1$  пересекаются в некоторой точке  $O_2$ . Обозначим буквой  $\alpha$  тот угол с вершиной в точке  $O_2$ , который будет соответственным с углом  $AOB$  (при параллельных  $OB, O_2B_1$  и секущей  $OO_2$ ).
+По свойствам параллельных прямых  $\alpha=\angle AOB$ .
+Но тот же угол  $\alpha$  будет соответственным и для угла  $A_1O_1B_1$  (при параллельных прямых  $A_1O_1, AO_2$  и секущей  $O_1O_2$ ). Поэтому (по тому же свойству)  $\alpha=\angle A_1O_1B_1$ .
+Следовательно,  $\angle A_1O_1B_1=\angle AOB$ .
+=====Определение=====
+Координатная ось -- это прямая (обозначим её  $x$ ), на которой выбраны точка  $O$  -- начало координат, и точка  $E$ , такая что  $|OE|=1$ . Вектор  $\overrightarrow{OE}=\vec{e}$  -- называют единичным вектором оси  $x$ ; направление оси  $x$  задаётся её единичным вектором.
+=====Определение====
+Координатой точки  $M$ , лежащей на оси  $x$ , называется такое число  $x_M$ , что  $\overrightarrow{OM}=x_M\cdot \vec{e}$ , где  $\vec{e}$  -- единичный вектор оси  $x$ .
+====Определение====
+Проекцией  $v_x$  вектора  $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$  на ось  $x$  называется длина отрезка  $A_1B_1$  взятая со знаком <<плюс>> или <<минус>>. Точки  $A_1$  и  $B_1$  -- проекции точек  $A$  и  $B$  на ось  $x$ . При этом знак <<плюс>> берётся, если направление вектора  $\overrightarrow{A_1B_1}$  совпадает с направлением оси  $x$ , и знак <<минус>>, если эти направления противоположны. Если  $\overrightarrow{A_1B_1}=\vec{0}$ , то есть  $A_1=B_1$ , то  $v_x=0$ .
+=====Замечание=====
+Векторная и числовая проекции вектора  $\vec{v}$  на ось  $x$  с единичным вектором  $\vec{e}$  связаны соотношением  $\overrightarrow{pr_{x}\vec{v}}=v_x\cdot\vec{e}$ .
+====Доказательство====
+...
+=====Лемма=====
+Если точки  $A$  и  $B$  лежат на оси  $x$  и имеют координаты  $x_A$  и  $x_B$  соответственно, то  $|AB|=|x_B-x_A|$  вне зависимости от расположения точек  $A$  и  $B$  на оси.
+====Доказательство====
+...
+=====Теорема (о вычислении проекции вектора)=====
+Проекция вектора  $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$  на ось  $x$  равна  $v_x=x_B-x_A$ , где  $x_A$  и  $x_B$  -- координаты проекций точек  $A$  и  $B$  на ось  $x$ .
+===Доказательство===
+Пусть проекциями точек  $A$  и  $B$  на ось  $x$  являются точки  $A_1$  и  $B_1$  соответственно. ОбозначимИзвестно, что  $|A_1B_1|=x_B-x_A$ .
+Если  $\overrightarrow{A_1B_1}\neq\vec{0}$  и  $\overrightarrow{A_1B_1}\upuparrows \vec{e}$ , то  $x_B>X_A$  и  $x_B-x_A>0$ . В этом случае  $|x_B-x_A|=x_B-x_A$  и  $v_x=|\overrightarrow{A_1B_1}|=x_B-x_A$ .
+Если  $\overrightarrow{A_1B_1}\updownarrows \vec{e}$ , то  $x_B<x_A$  и  $x_B-x_A<0$ . В этом случае  $|x_B-x_A|=-(x_B-x_A)$  и  $v_x=-|\overrightarrow{A_1B_1}|=x_B-x_A$ .
+Если  $\overrightarrow{A_1B_1}=\vec{0}$ , то  $v_x=0, A_1=B_1, x_B=x_A$  и снова  $v_x=x_B-x_A$ .
+Итак, во всех случаях  $v_x=x_B-x_A$ .
+====Определение====
+Углом между вектором и координатной осью называется угол между вектором и единичным вектором этой оси.
+=====Теорема (о вычислении проекции вектора через косинус)=====
+Проекция ненулевого вектора на ось равна длине этого вектора, умноженной на косинус угла между этим вектором и осью.
+===Доказательство===
+Пусть дан вектор  $\vec{v}=\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}$ ,  $\vec{e}$  -- единичный вектор координатной оси  $x$ , и  $\varphi=\angle(\vec{v}, \vec{e})$ .
+Докажем, что проекция  $v_x$  вектора  $\vec{v}$  на ось  $x$  вычисляется по формуле  $v_x=|\vec{v}|\cos{\varphi}$   $(1)$ .
+Возможны следующие случаи:
+) Угол  $\varphi = 0^\circ$ . Тогда  $\overrightarrow{AB}=\vec{e}$ ,  $\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{AB}=\vec{v}$  и  $v_x=|\vec{v}|$ . Так как  $\cos{0^\circ}$ =1, то  $v_x=|\vec{v}|\cos{\varphi}$ .
+) Угол  $\varphi$  острый. Пусть точка  $A$  не лежит на оси  $x$ . Через точку  $A$  проведем прямую  $p$ , параллельную оси  $x$ . Пусть точка  $C$  -- проекция точки  $B$  на прямую  $p$ . Получим прямоугольный треугольник  $ABC$  с углом  $\varphi$  при вершине  $A$  и прямоугольник  $AA_1B_1C$ . Тогда  $v_x=|\overrightarrow{A_1B_1}|=AC=AB\cos{\varphi}=|\vec{v}|\cos{\varphi}$ , то есть  $v_x=|\vec{v}|\cos{\varphi}$ .
+Если точка  $A$  лежит на оси  $x$ ? то равенство  $(1)$  вытекает из прямоугольного треугольника  $ABB_1$ .
+) Угол  $\varphi=90^\circ$ . В этом случае  $\overrightarrow{AB}=\vec{e}$ ,  $A_1=B_1$  и  $v_x=0$ . И так как  $\cos{90^\circ}=0$ , то равенство  $(1)$  выполняется.
+) Угол  $\varphi$  тупой. Сначала через точку  $A$  проводим прямую  $p$ , параллельную оси  $x$ , и проецируем на нее точку  $B$  в точку  $C$ юСнова получим прямоугольный треугольник  $ABC$ . Его угол при вершине  $A$  равен  $180^\circ-\varphi$ . Поэтому  $AC=AB\cos{(180^\circ-\varphi)}=-AB\cos{\varphi}$ . В рассматриваемом случае  $\overrightarrow{A_1B_1}\updownarrows\vec{e}$ , и поэтому  $v_x=-|\overrightarrow{A_1B_1}|=-AC=AB\cos{\varphi}=|\vec{v}\cos{\varphi}|$ , то есть снова выполняется равенство  $(1)$ .
+Если же точка  $A$  лежит на прямой  $x$  то доказательство только упрощается соответственным образом.
+) Угол  $\varphi=180^\circ$ . Тогда  $\overrightarrow{AB}\updownarrows\vec{e}$ ,  $\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{AB}=\vec{v}$  и  $v_x=-|\vec{v}|$ . Так как  $\cos{180^\circ}=-1$ , то равенство  $(1)$  снова имеет место.
+====Свойство 1====
+Равные векторы имеют равные проекции на заданную ось.
+===Доказательство===
+Проекция вектора  $\vec{v}$  зависит лишь от длины этого вектора и угла  $\varphi$ , который он образует с данной осью, так как  $v_x=|\vec{v}|\cos{\varphi}$ . Равные же векторы имеют, во-первых, равные длины и, во-вторых, образуют с осью один и тот же угол (в силу параллельности прямых). Следовательно, их проекции равны.
+====Свойство 2====
+При сложении векторов их проекции на ось складываются.
+===Доказательство===
+Сложим любые два вектора  $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$  и  $\vec{b}=\overrightarrow{BC}$ . Получим вектор  $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ . Пусть точки  $A_1, B_1, C_1$  -- проекции точек  $A, B, C$  на ось  $x$ , а  $x_A, x_B, x_C$  -- их координатыб и  $a_x, b_x, c_x$  -- проекции векторов  $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$  на ось  $x$ .
+Так как  $a_x=x_B-x_A, b_x=x_C-x_B$ , то  $a_x+b_x=x_B-x_A+x_C-x_B=x_C-x_A$ .
+C другой стороны  $c_x=x_C-x_A$ .
+Поэтому  $c_x=a_x+b_x$ .
+====Свойство 3====
+При умножении вектора на число его проекция умножается на это число.
+===Доказательство===
+Пусть  $x$  -- ось с начальной точкой  $O$  и единичным вектором  $\vec{e}$ . Возьмем любой вектор  $\vec{a}$  и отложим его от точки  $O$ :  $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ . Пусть  $\varphi$  -- угол между векторами  $\vec{a}$  и  $\vec{e}$ . Умножим вектор  $\vec{a}$  на число  $\alpha$ . Получим вектор  $\vec{b}=\overrightarrow{OB}=\alpha\vec{a}$ . Необходимо доказать, что  $b_x=\alpha a_x$ .
+Возможны следующие случаи:
+)  $\alpha>0$ . Тогда  $\angle(\vec{b},\vec{e})=\varphi$ . Кроме того,  $|\vec{b}|=|\alpha||\vec{a}|$ , то есть  $OB=\alpha OA$ . Поэтому  $b_x=|\vec{b}|\cos{\varphi}=OB\cos{\varphi}=\alpha OA\cos{\varphi}=\alpha a_x$ .
+)  $\alpha<0$ . Тогда  $\angle(\vec{b},\vec{e})=180^\circ-\varphi$ . Кроме того,  $|\vec{b}|=|\alpha||\vec{a}|$ , то есть  $OB=|\alpha| OA$ . А так как  $\alpha<0$ , то  $|\alpha|=-\alpha$  и поэтому  $OB=-\alpha OA$ . Следовательно,  $b_x=|\vec{b}|\cos{(180^\circ-\varphi)}=-OB\cos{\varphi}=\alpha OA\cos{\varphi}=\alpha a_x$ .
+)  $\alpha=0$ . Тогда  $\vec{b}=\alpha \vec{a}=\vec{0}$ , и поэтому  $b_x=0$  и  $b_x=\alpha a_x$ .
+====Следствие====
+Проекция линейной комбинации векторов, равна соответствующей линейной комбинации проекций этих векторов.