math-public:tangens_i_kotangens
Тангенс и котангенс
Определение
Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.
Определение
Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу.
Свойства тангенса
- При увеличении угла от $0^\circ$ до $90^\circ$ тангенс растет от $0$ до бесконечности.
- $\tg{(180^\circ-\alpha)}=-\tg{\alpha}$.
- Для острых углов значение тангенса определяет угол.
Доказательство
Докажем первый пункт теоремы.
Построим прямоугольный треугольник $ABC$, у которого $AC=1$ и $\angle A=\alpha$.
Тогда другой его катет $BC=\tg{\alpha}$.
Когда угол $\alpha$ возрастает от $0^\circ$ до $90^\circ$ катет $BC$, а значит и $\tg{\alpha}$, возрастает от $0$ до бесконечности.
Докажем второй пункт теоремы.
$$\tg{(180^\circ-\alpha)}=\dfrac{\sin{(180^\circ-\alpha)}}{\cos{(180^\circ-\alpha)}}=\dfrac{\sin{\alpha}}{-\cos{\alpha}}=-\tg{\alpha}.$$
Докажем третий пункт теоремы.
Пусть углы $\alpha$ и $\beta$ – острые.
Докажем, что если $\tg{\alpha}=\tg{\beta}$, то $\alpha=\beta$.
Действительно, возможно три случая:
- $\alpha>\beta$. Тогда по пункту 1 $\tg{\alpha}>\tg{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
- $\alpha<\beta$. Тогда по пункту 1 $\tg{\alpha}<\tg{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
- Следовательно, остаётся только третья возможность: $\alpha=\beta$.
math-public/tangens_i_kotangens.txt · Последнее изменение: 2016/04/13 20:32 — labreslav