Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:romb [2016/04/15 00:18] – [Замечение] labreslav
+++ math-public:romb [2016/04/17 00:55] (текущий) – [Признаки ромба] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+======Ромб======
+=====Определение=====
+Ромб -- это четырехугольник, у которого все стороны равны.
+{{:math-public:229.jpg?direct&150|}}
+=====Замечание=====
+Ромб является частным случаем параллелограмма, так как его
+противоположные стороны попарно равны (третий признак).
+=====Замечание=====
+Ромб наследует все свойства параллелограмма.
+=====Свойства ромба=====
+  - Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
+  - Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
+{{:math-public:026_1.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+{{:math-public:026.jpg?direct&300|}}
+Рассмотрим ромб $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются
+в точке $O$.\\
+Докажем, что они перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.
+Действительно, так как $ABCD$ -- частный случай параллелограмма, то диагонали точкой пересечения
+делятся пополам, то есть $AO=OC, BO=OD$.
+Тогда, так как $AB=BC=CD=DA$, то $\triangle AOB=\triangle BOC=\triangle COD=\triangle AOD$ по третьему
+признаку равенства.
+Тогда $\angle 1=\angle 2=90^\circ$, так как это смежные
+углы.
+Кроме того, $\angle 3=\angle 4=\angle 5=\angle 6$, $\angle 7=\angle 8=\angle 9=\angle 10$.
+Таким образом диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами
+углов ромба.
+=====Следствие=====
+Диагонали ромба разбивают его на четыре равных прямоугольных
+треугольника.
+=====Признаки ромба=====
+  - Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм -- ромб.
+  - Если одна из диагоналей параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм -- ромб.
+  - Если в четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой углов $\angle A$ и $\angle C$, а диагональ $BD$ является биссектрисой углов $B$ и $D$, то $ABCD$ -- ромб.
+{{:math-public:027.jpg?direct&150|}}{{:math-public:027b.jpg?direct&150|}}{{:math-public:027cc.jpg?direct&150|}}
+====Доказательство====
+===Докажем первый пункт теоремы.===
+Рассмотрим параллелограмм $ABCD$,
+в котором $AC\perp BD$.
+Докажем, что $ABCD$ -- ромб.
+В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся
+пополам, следовательно, $AO=OC, BO=OD$.
+Кроме того, $\angle 1=\angle 2=90^\circ$.
+Тогда $\triangle AOB=\triangle AOD$ по первому признаку равенства.
+Следовательно $AB=AD$.
+А так как $ABCD$ -- параллелограмм, то $BC=AD=AB=CD$, то есть $ABCD$ -- ромб.
+===Докажем второй пункт теоремы.===
+Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором диагональ
+$AC$ является биссектрисой угла $\angle A$, то есть $\angle 1=\angle 2$.
+Докажем, что $ABCD$ -- ромб.
+$\angle 2=\angle 3$, как
+накрест лежащие, следовательно, $\angle 1=\angle 3$.
+То есть $\triangle ABC$ -- равнобедренный и $AB=BC$.
+А так как $ABCD$ -- параллелограмм, то
+$AB=CD, BC=AD$, то есть $AB=BC=CD=AD$, и $ABCD$ -- ромб.
+===Докажем третий пункт теоремы===
+Заметим, что $\triangle ABC=\triangle ADC$ по второму признаку ($\angle 1=\angle 2, \angle
+=\angle 4$, $AC$ -- общая).
+Тогда $\angle B=\angle D$, а следовательно, равны и их половины: $\angle 5=\angle
+=\angle7=\angle 8$.
+Но тогда треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$ -- равнобедренные: $AB=AD, BC=CD$.
+Кроме того $\triangle ABD=\triangle BCD$ по второму признаку ($BD$ -- общая, $\angle 5=\angle6, \angle 7=\angle 8$).
+А значит $AB=BC$ и $AD=CD$.
+Таким образом все стороны четырёхугольника равны между собой: $AB=BC=CD=DA$.