math-public:romb
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версия | |||
math-public:romb [2016/04/15 00:18] – [Замечение] labreslav | math-public:romb [2016/04/17 00:55] (текущий) – [Признаки ромба] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ======Ромб====== | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Ромб -- это четырехугольник, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | =====Замечание===== | ||
+ | Ромб является частным случаем параллелограмма, | ||
+ | противоположные стороны попарно равны (третий признак). | ||
+ | =====Замечание===== | ||
+ | Ромб наследует все свойства параллелограмма. | ||
+ | |||
+ | =====Свойства ромба===== | ||
+ | |||
+ | - Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. | ||
+ | - Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим ромб $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются | ||
+ | в точке $O$.\\ | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | делятся пополам, | ||
+ | |||
+ | Тогда, так как $AB=BC=CD=DA$, | ||
+ | признаку равенства. | ||
+ | |||
+ | Тогда $\angle 1=\angle 2=90^\circ$, | ||
+ | углы. | ||
+ | |||
+ | Кроме того, $\angle 3=\angle 4=\angle 5=\angle 6$, $\angle 7=\angle 8=\angle 9=\angle 10$. | ||
+ | |||
+ | Таким образом диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами | ||
+ | углов ромба. | ||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | Диагонали ромба разбивают его на четыре равных прямоугольных | ||
+ | треугольника. | ||
+ | |||
+ | =====Признаки ромба===== | ||
+ | - Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, | ||
+ | - Если одна из диагоналей параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм -- ромб. | ||
+ | - Если в четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой углов $\angle A$ и $\angle C$, а диагональ $BD$ является биссектрисой углов $B$ и $D$, то $ABCD$ -- ромб. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Докажем первый пункт теоремы.=== | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, | ||
+ | в котором $AC\perp BD$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся | ||
+ | пополам, | ||
+ | |||
+ | Кроме того, $\angle 1=\angle 2=90^\circ$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $\triangle AOB=\triangle AOD$ по первому признаку равенства. | ||
+ | |||
+ | Следовательно $AB=AD$. | ||
+ | |||
+ | А так как $ABCD$ -- параллелограмм, | ||
+ | |||
+ | ===Докажем второй пункт теоремы.=== | ||
+ | Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором диагональ | ||
+ | $AC$ является биссектрисой угла $\angle A$, то есть $\angle 1=\angle 2$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | $\angle 2=\angle 3$, как | ||
+ | накрест лежащие, | ||
+ | |||
+ | То есть $\triangle ABC$ -- равнобедренный и $AB=BC$. | ||
+ | |||
+ | А так как $ABCD$ -- параллелограмм, | ||
+ | $AB=CD, BC=AD$, то есть $AB=BC=CD=AD$, | ||
+ | |||
+ | ===Докажем третий пункт теоремы=== | ||
+ | Заметим, | ||
+ | 3=\angle 4$, $AC$ -- общая). | ||
+ | |||
+ | Тогда $\angle B=\angle D$, а следовательно, | ||
+ | 6=\angle7=\angle 8$. | ||
+ | |||
+ | Но тогда треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$ -- равнобедренные: | ||
+ | |||
+ | Кроме того $\triangle ABD=\triangle BCD$ по второму признаку ($BD$ -- общая, $\angle 5=\angle6, \angle 7=\angle 8$). | ||
+ | |||
+ | А значит $AB=BC$ и $AD=CD$. | ||
+ | |||
+ | Таким образом все стороны четырёхугольника равны между собой: $AB=BC=CD=DA$. | ||
math-public/romb.1460668695.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/04/15 00:18 — labreslav