Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:romb

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
math-public:romb [2016/04/15 00:18]
labreslav [Замечение]
math-public:romb [2016/04/17 00:55] (текущий)
labreslav [Признаки ромба]
Строка 1: Строка 1:
 +======Ромб======
 +=====Определение=====
 +Ромб -- это четырехугольник,​ у которого все стороны равны.
 +
 +{{:​math-public:​229.jpg?​direct&​150|}}
 +=====Замечание=====
 +Ромб является частным случаем параллелограмма,​ так как его
 +противоположные стороны попарно равны (третий признак).
 +=====Замечание=====
 +Ромб наследует все свойства параллелограмма.
 +
 +=====Свойства ромба=====
 +
 +  - Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
 +  - Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
 +
 +{{:​math-public:​026_1.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +{{:​math-public:​026.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +Рассмотрим ромб $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются
 +в точке $O$.\\
 +
 +Докажем,​ что они перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.
 +
 +Действительно,​ так как $ABCD$ -- частный случай параллелограмма,​ то диагонали точкой пересечения
 +делятся пополам,​ то есть $AO=OC, BO=OD$.
 +
 +Тогда, так как $AB=BC=CD=DA$,​ то $\triangle AOB=\triangle BOC=\triangle COD=\triangle AOD$ по третьему
 +признаку равенства.
 +
 +Тогда $\angle 1=\angle 2=90^\circ$,​ так как это смежные
 +углы.
 +
 +Кроме того, $\angle 3=\angle 4=\angle 5=\angle 6$, $\angle 7=\angle 8=\angle 9=\angle 10$.
 +
 +Таким образом диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами
 +углов ромба.
 +
 +=====Следствие=====
 +Диагонали ромба разбивают его на четыре равных прямоугольных
 +треугольника.
 +
 +=====Признаки ромба=====
 +  - Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны,​ то этот параллелограмм -- ромб.
 +  - Если одна из диагоналей параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм -- ромб.
 +  - Если в четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой углов $\angle A$ и $\angle C$, а диагональ $BD$ является биссектрисой углов $B$ и $D$, то $ABCD$ -- ромб.
 +
 +{{:​math-public:​027.jpg?​direct&​150|}}{{:​math-public:​027b.jpg?​direct&​150|}}{{:​math-public:​027cc.jpg?​direct&​150|}}
 +
 +====Доказательство====
 +===Докажем первый пункт теоремы.===
 +
 +Рассмотрим параллелограмм $ABCD$,
 +в котором $AC\perp BD$.
 +
 +Докажем,​ что $ABCD$ -- ромб.
 +
 +В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся
 +пополам,​ следовательно,​ $AO=OC, BO=OD$.
 +
 +Кроме того, $\angle 1=\angle 2=90^\circ$.
 +
 +Тогда $\triangle AOB=\triangle AOD$ по первому признаку равенства.
 +
 +Следовательно $AB=AD$.
 +
 +А так как $ABCD$ -- параллелограмм,​ то $BC=AD=AB=CD$,​ то есть $ABCD$ -- ромб.
 +
 +===Докажем второй пункт теоремы.===
 +Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором диагональ
 +$AC$ является биссектрисой угла $\angle A$, то есть $\angle 1=\angle 2$.
 +
 +Докажем,​ что $ABCD$ -- ромб. ​
 +
 +$\angle 2=\angle 3$, как
 +накрест лежащие,​ следовательно,​ $\angle 1=\angle 3$. 
 +
 +То есть $\triangle ABC$ -- равнобедренный и $AB=BC$.
 +
 +А так как $ABCD$ -- параллелограмм,​ то
 +$AB=CD, BC=AD$, то есть $AB=BC=CD=AD$,​ и $ABCD$ -- ромб.
 +
 +===Докажем третий пункт теоремы===
 +Заметим,​ что $\triangle ABC=\triangle ADC$ по второму признаку ($\angle 1=\angle 2, \angle
 +3=\angle 4$, $AC$ -- общая).
 +
 +Тогда $\angle B=\angle D$, а следовательно,​ равны и их половины:​ $\angle 5=\angle
 +6=\angle7=\angle 8$.
 +
 +Но тогда треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$ -- равнобедренные:​ $AB=AD, BC=CD$.
 +
 +Кроме того $\triangle ABD=\triangle BCD$ по второму признаку ($BD$ -- общая, $\angle 5=\angle6, \angle 7=\angle 8$).
 +
 +А значит $AB=BC$ и $AD=CD$.
 +
 +Таким образом все стороны четырёхугольника равны между собой: $AB=BC=CD=DA$.
  
math-public/romb.txt · Последние изменения: 2016/04/17 00:55 — labreslav