Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:tangens_i_kotangens [2016/04/13 20:29] – [Свойства тангенса] labreslav
+++ math-public:tangens_i_kotangens [2016/04/13 20:32] (текущий) – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+======Тангенс и котангенс======
+=====Определение======
+Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.
+=====Определение======
+Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу.
+=====Свойства тангенса=====
+  - При увеличении угла от $0^\circ$ до $90^\circ$ тангенс растет от $0$ до бесконечности.
+  - $\tg{(180^\circ-\alpha)}=-\tg{\alpha}$.
+  - Для острых углов значение тангенса определяет угол.
+{{:math-public:075.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+===Докажем первый пункт теоремы.===
+Построим прямоугольный треугольник $ABC$, у которого $AC=1$ и $\angle A=\alpha$.
+Тогда другой его катет $BC=\tg{\alpha}$.
+Когда угол $\alpha$ возрастает от $0^\circ$ до $90^\circ$ катет $BC$, а значит и $\tg{\alpha}$, возрастает от $0$ до бесконечности.
+===Докажем второй пункт теоремы.===
+$$\tg{(180^\circ-\alpha)}=\dfrac{\sin{(180^\circ-\alpha)}}{\cos{(180^\circ-\alpha)}}=\dfrac{\sin{\alpha}}{-\cos{\alpha}}=-\tg{\alpha}.$$
+===Докажем третий пункт теоремы.===
+Пусть углы $\alpha$ и $\beta$ -- острые.
+Докажем, что если $\tg{\alpha}=\tg{\beta}$, то $\alpha=\beta$.
+Действительно, возможно три случая:
+  - $\alpha>\beta$. Тогда по пункту 1 $\tg{\alpha}>\tg{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
+  - $\alpha<\beta$. Тогда по пункту 1 $\tg{\alpha}<\tg{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
+  - Следовательно, остаётся только третья возможность: $\alpha=\beta$.