Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:tangens_i_kotangens

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
math-public:tangens_i_kotangens [2016/04/13 20:29]
labreslav [Свойства тангенса]
math-public:tangens_i_kotangens [2016/04/13 20:32] (текущий)
labreslav [Доказательство]
Строка 1: Строка 1:
 +======Тангенс и котангенс======
 +=====Определение======
 +Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.
 +
 +=====Определение======
 +Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу.
 +
 +=====Свойства тангенса=====
 +  - При увеличении угла от $0^\circ$ до $90^\circ$ тангенс растет от $0$ до бесконечности.
 +  - $\tg{(180^\circ-\alpha)}=-\tg{\alpha}$.
 +  - Для острых углов значение тангенса определяет угол.
 +
 +{{:​math-public:​075.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +===Докажем первый пункт теоремы.===
 +Построим прямоугольный треугольник $ABC$, у которого $AC=1$ и $\angle A=\alpha$.
 +
 +Тогда другой его катет $BC=\tg{\alpha}$.
 +
 +Когда угол $\alpha$ возрастает от $0^\circ$ до $90^\circ$ катет $BC$, а значит и $\tg{\alpha}$,​ возрастает от $0$ до бесконечности.
 +
 +===Докажем второй пункт теоремы.===
 +$$\tg{(180^\circ-\alpha)}=\dfrac{\sin{(180^\circ-\alpha)}}{\cos{(180^\circ-\alpha)}}=\dfrac{\sin{\alpha}}{-\cos{\alpha}}=-\tg{\alpha}.$$
 +
 +===Докажем третий пункт теоремы.===
 +
 +Пусть углы $\alpha$ и $\beta$ -- острые.
 +
 +Докажем,​ что если $\tg{\alpha}=\tg{\beta}$,​ то $\alpha=\beta$.
 +
 +Действительно,​ возможно три случая:​
 +  - $\alpha>​\beta$. Тогда по пункту 1 $\tg{\alpha}>​\tg{\beta}$. Значит,​ этот случай не имеет места.
 +  - $\alpha<​\beta$. Тогда по пункту 1 $\tg{\alpha}<​\tg{\beta}$. Значит,​ этот случай не имеет места.
 +  - Следовательно,​ остаётся только третья возможность:​ $\alpha=\beta$.
  
math-public/tangens_i_kotangens.txt · Последние изменения: 2016/04/13 20:32 — labreslav