Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:teorema_styarta [2019/05/06 10:32] – labreslav
+++ math-public:teorema_styarta [2019/05/06 11:23] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 =====Теорема Стюарта=====
-$d^2=a^2\cdot \dfrac{b_1}{c}+b^2\cdot\dfrac{a_1}{c}-a_1b_1$
+$AD^{2}=AB^{2}\cdot\dfrac{DC}{BC}+A C^{2}\cdot \dfrac{BD}{BC}-BD \cdot DC$
+{{:math-public:teorema_styuarta.png?direct&300|}}
 ===Доказательство===
+По теореме косинусов для треугольников $ADB$ и $ADC$ имеем:
 $A B^{2}=B D^{2}+A D^{2}-2 AD \cdot BD\cdot \cos \angle A D B$
@@ Строка 25: / Строка 29: @@
 $AD^{2}=\dfrac{AB^{2}\cdot DC}{BC}+\dfrac{A C^{2}\cdot BD}{BC}-BD \cdot DC$
+$AD^{2}=AB^{2}\cdot\dfrac{DC}{BC}+A C^{2}\cdot \dfrac{BD}{BC}-BD \cdot DC$
+===Доказательство (в маленьких буквах)===
+{{:math-public:teorema_styuarta.png?direct&300|}}
+По теореме косинусов для треугольников $ADB$ и $ADC$ имеем:
+$c^{2}=c_1^{2}+d^{2}-2 c_1 \cdot d\cdot \cos\varphi$
+$b^{2}=b_1^{2}+d^{2}-2 b_1\cdot d\cdot \cos(180^\circ-\varphi)=b_1^{2}+d^{2}+2 b_1\cdot d\cdot \cos\varphi$
+Первое уравнение домножим на $b_1$, а второе на $c_1$:
+$c^{2}\cdot b_1=c_1^{2}\cdot b_1 + d^{2}\cdot b_1 - 2 d \cdot c_1 \cdot b_1\cdot \cos \varphi$
+$b^{2}\cdot c_1=d^{2}\cdot c_1 + b_1^{2}\cdot c_1 + 2 d \cdot c_1 \cdot b_1\cdot \cos \varphi$
+Сложим последние два уравнения:
+$с^{2}\cdot b_1+b^{2}\cdot c_1=c_1^{2}\cdot b_1 + d^{2}\cdot b_1 + d^{2}\cdot c_1 + b_1^{2}\cdot c_1$
+В правой части равенства сгруппируем второе и третье слагаемое, а также первое и четвертое слагаемое:
+$с^{2}\cdot b_1+b^{2}\cdot c_1=c_1b_1(c_1+b_1) + d^{2}(b_1+ c_1)$
+$с^{2}\cdot b_1+b^{2}\cdot c_1=c_1b_1\cdot a + d^{2}\cdot a$
+$d^2 = c^2 \cdot \dfrac{b_1}{a}+ b^2\cdot \dfrac{c_1}{a}-b_1 c_1$