−Содержание
Векторное уравнение прямой
Доказательство
Пусть X – произвольная точка прямой AB.
Тогда вектора →AX и →AB коллинеарны, и, следовательно существует такое число t, что →AX=t⋅→AB.
Тогда, взяв произвольную точку O, можно написать →OX=→OA+→AX=→OA+t⋅→AB.
Таким образом для произвольной точки X прямой AB можно написать уравнение →OX=→OA+t⋅→AB.
При этом очевидно, что для каждого числа t существует единственная точка X, для которой равенство будет верно, и наоборот.
Вторая векторная форма уравнения прямой
→OX=(1−t)⋅→OA+t⋅→OB, где X – переменная точка прямой AB, причем
- X лежит между точками A и B, если 0<t<1
- X лежит за точкой B, если t>1
- X лежит за точкой A, если t<0
- X совпадает с точкой A, если t=0
- X совпадает с точкой B, если t=1.
Доказательство
Преобразуем правую часть данного уравнения: →OX=(1−t)⋅→OA+t⋅→OB=→OA+t⋅(→OB−→OA)=→OA+t⋅→AB.
То есть →OX=→OA+t⋅→AB.
Тогда, перенеся вектор →OA в правую часть и преобразовав разность по правилу треугольника, получим →AX=t⋅→AB.
Откуда в силу определения умножения вектора на число ясно, что точка X лежит между точками A и B, если 0<t<1, лежит за точкой B, если t>1, лежит за точкой A, если t<0, совпадает с точкой A, если t=0, совпадает с точкой B, если t=1.