Параллельным переносом фигуры называется такое ее преобразование, при котором все точки фигуры перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, то есть на заданный вектор.

Параллельный перенос является движением.

Рассмотрим произвольный вектор $\vec{a}$ и соответствующий ему параллельный перенос $T_{\vec{a}}$.

Необходимо доказать, что для произвольных точек $A$ и $B$ расстояние $AB$ равно расстоянию $A'B'$, где $A'=T_{\vec{a}}(A), B'=T_{\vec{a}}(B)$.

Действительно, четырёхугольник $AA'B'B$ – это параллелограмм, так как $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\vec{a}$, то есть $AA'=BB'$ и $AA'\parallel BB'$.

Следовательно, $AB=A'B'$.

Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние, то есть является движением.

1. Параллельный перенос сохраняет направления.
2. Движение, сохраняющее направления, является параллельным переносом.

Пусть $X'=T_{\vec{a}}(X), Y'=T_{\vec{a}}(Y)$.

Тогда $\overrightarrow{XX'}=\overrightarrow{YY'}=\vec{a}$.

Следовательно, $XX'Y'Y$ – это параллелограмм, и, следовательно $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{X'Y'}$, откуда следует, что $\overrightarrow{X'Y'}\upuparrows \overrightarrow{XY}$, а это и означает, что движение сохраняет направления.

Пусть движение $f$ сохраняет направления, то есть для любого вектора $\overrightarrow{XY}$ будет выполняться $\overrightarrow{X'Y'}\upuparrows \overrightarrow{XY}$, где $X'=f(X), Y'=f(Y)$.

Так как $f$ – это движение, то $X'Y'=XY$.

А так как $\overrightarrow{X'Y'}\upuparrows \overrightarrow{XY}$, то $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{X'Y'}$.

Из этого равенства следует, что $XX'Y'Y$ – параллелограмм, и, следовательно, $\overrightarrow{XX'}=\overrightarrow{YY'}$.

Последнее равенство означает, что движение $f$ переносит любую точку на один и тот же вектор, то есть по определению является параллельным переносом.

Образ точки $X(x_0;y_0)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(x_a,y_a)$ имеет координаты $X'(x_0+x_a; y_0+y_a)$.

Утверждение теоремы очевидно следует из цепочки равенств:

$X'=\overrightarrow{OX'}=\overrightarrow{OX}+\vec{a}=(x_0;y_0)+(x_a,y_a)=(x_0+x_a; y_0+y_a)$.