Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:aksiomatika_aleksandrova [2016/08/04 10:27] – создано labreslav
+++ math-public:aksiomatika_aleksandrova [2016/08/04 18:26] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+===== Основные (неопределяемые) объекты и отношения =====
+=== Основные объекты ===
+  - Точки
+  - Отрезки
+=== Основные отношения ===
+  - Точка является концом отрезка
+  - Точка лежит внутри отрезка
+  - Два отрезка равны друг другу
+===== Аксиомы =====
+==== 1. Аксиомы связи точек и отрезков ====
+=== Аксиома 1.1 ===
+Для каждого отрезка существует две точки, являющиеся его концами.
+=== Аксиома 1.2 ===
+Для каждого отрезка существует не более двух точек, являющихся его концами.
+=== Аксиома 1.3 ===
+Для каждых двух точек существует отрезок, концами которого они являются.
+=== Аксиома 1.4 ===
+Существует не более одного отрезка с данными концами.
+=== Аксиома 1.5 ===
+Для каждого отрезка существует лежащая на нем точка.
+=== Аксиома 1.6 ===
+Точка, лежащая на отрезке, не является его концом.
+==== 2. Аксиомы разделения и соединения отрезков ====
+=== Аксиома 2.1 ===
+Если точка  $C$  лежит на отрезке  $AB$ , то  $AB=AC\cup BC$ .
+Более подробно:
+  - Если  $C$  на  $AB$  и  $D$  на  $AC$  (или на  $BC$ ), то  $D$  на  $AB$ .
+  - Если  $C$  на  $AB$  и  $D$  на  $AB$  ( $D\neq C$ ), то  $D$  на  $AC$  или на  $BC$ .
+=== Аксиома 2.2 ===
+Если точка  $C$  лежит на отрезке  $AB$ , то  $AC\cap CB=C$ .
+=== Аксиома 2.3 ===
+Если  $C$  на  $AB$  и  $B$  на  $CD$ , то  $AB\cup CD=AD$ .
+==== 3. Аксиомы о равенстве и сравнении отрезков ====
+=== Аксиома 3.1 ===
+Для каждых двух отрезков  $AB$  и  $CD$  существует отрезок  $AE$ , равный  $CD$  и налегающий на  $AB$ .
+=== Аксиома 3.2 ===
+Для каждых двух отрезков  $AB$  и  $CD$  существует не более одного отрезка  $AE$ , равного  $CD$  и налегающего на  $AB$ .
+=== Аксиома 3.3 ===
+Если отрезки равны одному и тому же отрезку, то они равны друг другу.
+=== Аксиома 3.4 ===
+Если  $C$  на  $AB$  и  $C'$  на  $A'B'$  и  $AC=A'C'$ ,  $BC=B'C'$ , то  $AB=A'B'$ .
+=== Аксиома 3.5 (Аксиома Архимеда) ===
+При любых двух отрезках  $AB$  и  $CD$  существует отрезок  $AA_n$ , содержащий  $AB$  и такой =, что на нем есть такие точки  $A_1, \ldots, A_{n-1}$ , что  $AA_1=\ldots=A_{n-1}A_n=CD$ .
+==== Аксиома непрерывности ====
+=== Аксиома 4.1 ===
+Если  $\ \ \ldots\subset A_2B_2\subset A_1B_1$ , то существует точка, принадлежащая каждому из отрезков  $A_1B_1$ ,  $A_2B_2$ , и т.д.
+==== Плоскостные аксиомы ====
+=== Аксиома 5.1 ===
+Существуют три точки, не лежащие на одном отрезке.
+=== Аксиома 5.2 (аксиома Паша)===
+Если отрезок пересекает сторону треугольника, то он сам или некоторый содержащий его отрезок пересекает другую сторону, либо проходит через его вершину.
+=== Аксиома 5.3 ===
+Для любого треугольника  $ABC$  и отрезка  $A'B'$ ,  равного  $AB$ , с любой данной стороны от  $A'B'$  существует такая точка  $C'$ , что  $A'C'=AC$ ,  $BC=B'C'$ .
+=== Аксиома 5.4 ===
+Если  $AB=A'B'$ ,  $AC=A'C'$ ,  $BC=B'C'$  и  $D$ ,  $D'$  -- такие точки на  $AB$  и  $A'B'$ , что  $AD=A'D'$ , то также  $CD=C'D'$ .
+=== Аксиома 5.5 ===
+Если точки  $C$  и  $D$  лежат с одной стороны от отрезка  $AB$  и отрезки  $AC$  и  $BD$  равны и образуют с  $AB$  прямые углы, то  $CD=AB$ .