math-public:rasstojanija_zo_zh_oh_cherez_pryamuju_ajlera
Теорема
$ZH = \dfrac{2}{3}\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$
$OZ = \dfrac{1}{3}\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$
$OH = \sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$
Доказательство
По теореме Лейбница имеем:
$HA^2+HB^2+HC^2=3ZH^2+(AZ^2+BZ^2+CZ^2)$
$12R^2-(a^2+b^2+c^2)=3ZH^2+\frac13(a^2+b^2+c^2)$
$3ZH^2= 12R^2-\frac43(a^2+b^2+c^2)$
$ZH = \frac{2}{3}\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$
Тогда в силу свойств прямой Эйлера:
$OZ = \frac{1}{3}\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$
$OH = \sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$
math-public/rasstojanija_zo_zh_oh_cherez_pryamuju_ajlera.txt · Последнее изменение: 2019/05/27 16:54 — labreslav