Президентский ФМЛ №239

Дано уравнение $(a-1)x^2+2(a+2)x-a=0\ (*)$.

а) Рещите уравнение $(*)$ при $a=3$ и сравните его больший корень с меньшим корнем уравнения $4x^2-24x+7=0$.

б) При каких $a$ число $x={\sqrt {14}-3\over 2}$ является корнем уравнения $(*)$?

в) При каких $a$ уравнение $(*)$ имеет только положительные корни?

г) Пусть $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $(*)$. При каких $a$ выполнено неравенство ${1\over x_1}+{1\over x_2}\ge 4$?

д) При каких $a$ расстояние между точками, изображающими корни уравнеия $(*)$ на числовой оси, будет равно 4?

Дано уравнение $(b-2)x^2+2(2b-1)x+2b+1=0\ (*)$.

а) Рещите уравнение $(*)$ при $b=4$ и сравните его больший корень с меньшим корнем уравнения $4x^2-16x-13=0$.

б) При каких $b$ число $x={4\sqrt {3}-9\over 3}$ является корнем уравнения $(*)$?

в) При каких $b$ уравнение $(*)$ имеет только отрицательные корни?

г) Пусть $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $(*)$. При каких $b$ выполнено неравенство ${1\over x_1}+{1\over x_2}\le 1$?

д) При каких $b$ расстояние между точками, изображающими корни уравнеия $(*)$ на числовой оси, будет равно 4?

2007 год

Дано уравнение $ax^2+2(a+1)x+a=0$.

1. Сравните меньший корень данного уравнения при $a=1$ c меньшим корнем уравнения $2x^2+12x+17=0$.

2. При каких значениях $a$ корнем уравнения является число ${-3+\sqrt 5\over 2}$?

3. При каких значениях $a$ данное уравнение имеет ровно один корень?

4. При каких значениях $a$ все корни уравнения отрицательны?

5. При каких значениях $a$ уравнение имеет 2 корня, различающиеся в 4 раза?

Дано уравнение $bx^2+2(2b-1)x+4b=0$.

1. Сравните больший корень данного уравнения при $b=-1$ c большим корнем уравнения $4x^2+20x+13=0$.

2. При каких значениях $b$ корнем уравнения является число ${-7-\sqrt {13}\over 3}$?

3. При каких значениях $b$ данное уравнение имеет ровно один корень?

4. При каких значениях $b$ все корни уравнения положительны?

5. При каких значениях $b$ уравнение имеет 2 корня, различающиеся в 4 раза?

2008 год

1. Сравните больший корень уравнения $x^2-4x-1=0$ с меньшим корнем уравнения $4x^2-52x+149=0$. (3 балла)

2. Решите уравнение $2x^2-3x=2(13+\sqrt 5)^2-3(13+\sqrt 5)$. (3 балла)

3. Составьте какое-либо квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корнями которого являлись бы числа $\displaystyle {x_2\over x_1}$ и $\displaystyle {x_1\over x_2}$, где $x_1$, $x_2$ -- корни уравнения $3x^2+x-3=0$. (3 балла)

4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(a-1)x^2+(a^2+2a)x+a+1=0$ имеет два различных корня с одинаковыми модулями? (4 балла)

5. а) При каких значениях $b$ уравнение $bx^2+(2b-1)x+3b=-bx-b$ имеет единственный корень? (4 балла)

б) При каких значениях $b$ уравнение $\displaystyle { {bx^2+(2b-1)x+3b\over x+1}=-b}$ имеет единственный корень? ( 4 балла)

1. Сравните меньший корень уравнения $x^2-4x+1=0$ с большим корнем уравнения $2x^2+10x-3=0$. (3 балла)

2. Решите уравнение $3x^2+5x=3(7-\sqrt {13})^2+5(7-\sqrt {13})$. (3 балла)

3. Составьте какое-либо квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корнями которого являлись бы числа $\displaystyle {x_2^2\over x_1}$ и $\displaystyle {x_1^2\over x_2}$, где $x_1$, $x_2$ – корни уравнения $2x^2-x-4=0$. (3 балла)

4. Найдите все значения $b$, при каждом из которых уравнение $(b+1)x^2+(b^2-3b)x+b-2=0$ имеет два различных корня с одинаковыми модулями? (4 балла)

5. а) При каких значениях $a$ уравнение $2ax^2+(a+1)x+3a=-ax+a$ имеет единственный корень? (4 балла)

б) При каких значениях $a$ уравнение $\displaystyle { {2ax^2+(a+1)x+3a\over 1-x}=a}$ имеет единственный корень? (4 балла)

2009 год

Дано уравнение $ax^2-2(a-1)x+1=0\ (*)$.

а) Решите уравнение $(*)$ при $a=-2$ и сравните его меньший корень с числом $t=-{3\over 19}$.

б) При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет корни?

в) Найдите все значения $a$, при каждом из которых число $x={3+\sqrt 5\over 4}$ является корнем уравнения $(*)$.

г) При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет ровно один корень?

д) При каких значениях $a$ уравнение ${ax^2-2(a-1)x+1\over x-1}=0$ имеет ровно один корень?

е) Пусть уравнение $(*)$ имеет корни разных знаков. Докажите, что его больший корень больше 2.

ж) Пусть $x_1,x_2$ – различные корни уравнения $(*)$. При каких значениях $a$ выполнено неравенство ${1\over x_1}+{1\over x_2}<0$?

Дано уравнение $bx^2-4(b+1)x-1=0\ (*)$.

а) Решите уравнение $(*)$ при $b=2$ и сравните его меньший корень с числом $t=-{1\over 19}$.

б) При каких значениях $b$ уравнение $(*)$ имеет корни?

в) Найдите все значения $b$, при каждом из которых число $x={2+\sqrt 2\over 2}$ является корнем уравнения $(*)$.

г) При каких значениях $b$ уравнение $(*)$ имеет ровно один корень?

д) При каких значениях $b$ уравнение ${bx^2-4(b+1)x-1=0\over x-1}=0$ имеет ровно один корень?

е) Пусть уравнение $(*)$ имеет корни разных знаков. Докажите, что его больший корень больше 4.

ж) Пусть $x_1,x_2$ – различные корни уравнения $(*)$. При каких значениях $b$ выполнено неравенство ${1\over x_1}+{1\over x_2}<0$?