Президентский ФМЛ №239

$f(x)=ax^2+bx+c$, при $a\neq0$.

1. Оба корня $x_1$ и $x_2$ правее точки $t_1$: $t_1<x_1<x_2$.
Ветви вверх	Ветви вниз	Общие необходимые и достаточные условия
$txx1.jpg$ $\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ x_0>t_1\\ f(t_1)>0 \end{array}\right.$	$txx2.jpg$ $\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ x_0>t_1\\ f(t_1)<0 \end{array}\right.$	$\left\{\begin{array}{l} D>0\\ x_0>t_1\\ af(t_1)>0 \end{array}\right.$

2. Оба корня $x_1$ и $x_2$ левее точки $t_1$: $x_1<x_2<t_1$.
Ветви вверх	Ветви вниз	Общие необходимые и достаточные условия
$\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ x_0<t_1\\ f(t_1)>0 \end{array}\right.$	$\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ x_0<t_1\\ f(t_1)<0 \end{array}\right.$	$\left\{\begin{array}{l} D>0\\ x_0<t_1\\ af(t_1)>0 \end{array}\right.$

3. Корни $x_1$ и $x_2$ лежат по разные стороны от точки $t_1$: $x_1<t_1<x_2$.
Ветви вверх	Ветви вниз	Общие необходимые и достаточные условия
$\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ x_0\in \mathbb{R}\\ f(t_1)<0\end{array}\right.$	$\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ x_0\in \mathbb{R}\\ f(t_1)>0\end{array}\right.$	$af(t_1)<0$

4. Корни $x_1$ и $x_2$ лежат внутри интервала $(t_1;t_2)$: $t_1<x_1<x_2<t_2$.
Ветви вверх	Ветви вниз	Общие необходимые и достаточные условия
$\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ t_1<x_0<t_2\\ f(t_1)>0\\ f(t_2)>0\end{array}\right.$	$\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ t_1<x_0<t_2\\ f(t_1)<0\\ f(t_2)<0\end{array}\right.$	-

5. Корень $x_1$ лежит левее интервала $(t_1;t_2)$, а корень $x_2$ внутри интервала $(t_1;t_2)$: $x_1<t_1<x_2<t_2$.
Ветви вверх	Ветви вниз	Общие необходимые и достаточные условия
$xtxt1.jpg$ $\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ x_0<t_2\\ f(t_1)<0\\ f(t_2)>0\end{array}\right.$	$xtxt2.jpg$ $\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ x_0<t_2\\ f(t_1)>0\\ f(t_2)<0\end{array}\right.$	$\left\{\begin{array}{l} x_0<t_2\\ f(t_1)f(t_2)<0 \end{array}\right.$

6. Корень $x_1$ лежит внутри интервала $(t_1;t_2)$, а корень $x_2$ правее интервала $(t_1;t_2)$: $t_1<x_1<t_2<x_2$.
Ветви вверх	Ветви вниз	Общие необходимые и достаточные условия
$\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ x_0>t_1\\ f(t_1)>0\\ f(t_2)<0\end{array}\right.$	$\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ x_0>t_1\\ f(t_1)<0\\ f(t_2)>0\end{array}\right.$	$\left\{\begin{array}{l} x_0>t_1\\ f(t_1)f(t_2)<0 \end{array}\right.$

7. Корни $x_1$ и $x_2$ лежат по разные стороны от интервала $(t_1;t_2)$: $x_1<t_1<t_2<x_2$.
Ветви вверх	Ветви вниз	Общие необходимые и достаточные условия
$\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ x_0\in \mathbb{R}\\ f(t_1)<0\\ f(t_2)<0\end{array}\right.$	$\left\{\begin{array}{l}a<0\\ D>0\\ x_0\in \mathbb{R}\\ f(t_1)>0\\ f(t_2)>0\end{array}\right.$	$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l} a>0\\ f(t_1)<0\\ f(t_2)<0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l} a<0\\ f(t_1)>0\\ f(t_2)>0\end{array}\right.\end{array}\right.$

Случаи с нестрогими неравенствами:

Нажмите, чтобы отобразить

Нажмите, чтобы скрыть

1. Оба корня $x_1$ и $x_2$ лежат на луче $[t_1;+\infty)$: $t_1\leqslant x_1<x_2$.
Ветви вверх	Ветви вниз	Общие необходимые и достаточные условия
$txx1.jpg$ $\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ x_0>t_1\\ f(t_1)\geqslant0 \end{array}\right.$	$txx2.jpg$ $\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ x_0>t_1\\ f(t_1)\leqslant0 \end{array}\right.$	$\left\{\begin{array}{l} D>0\\ x_0>t_1\\ af(t_1)\geqslant0 \end{array}\right.$

2. Оба корня $x_1$ и $x_2$ лежат на луче $(-\infty;t_1]$: $x_1<x_2\leqslant t_1$.
Ветви вверх	Ветви вниз	Общие необходимые и достаточные условия
$\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ x_0<t_1\\ f(t_1)\geqslant 0 \end{array}\right.$	$\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ x_0<t_1\\ f(t_1)\leqslant 0 \end{array}\right.$	$\left\{\begin{array}{l} D>0\\ x_0<t_1\\ af(t_1)\geqslant0 \end{array}\right.$

4. Корни $x_1$ и $x_2$ лежат внутри отрезка $[t_1;t_2]$: $t_1\leqslant x_1<x_2\leqslant t_2$.
Ветви вверх	Ветви вниз	Общие необходимые и достаточные условия
$\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ t_1<x_0<t_2\\ f(t_1)\geqslant 0\\ f(t_2)\geqslant 0\end{array}\right.$	$\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ t_1<x_0<t_2\\ f(t_1)\leqslant 0\\ f(t_2)\leqslant0\end{array}\right.$	-

4a. Корни $x_1$ и $x_2$ лежат внутри интервала $[t_1;t_2)$: $t_1\leqslant x_1<x_2<t_2$.
Ветви вверх	Ветви вниз	Общие необходимые и достаточные условия
$\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ t_1<x_0<t_2\\ f(t_1)\geqslant 0\\ f(t_2)> 0\end{array}\right.$	$\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ t_1<x_0<t_2\\ f(t_1)\leqslant 0\\ f(t_2)<0\end{array}\right.$	-

4b. Корни $x_1$ и $x_2$ лежат внутри интервала $(t_1;t_2]$: $t_1<x_1<x_2\leqslant t_2$.
Ветви вверх	Ветви вниз	Общие необходимые и достаточные условия
$\left\{\begin{array}{l} a>0\\ D>0\\ t_1<x_0<t_2\\ f(t_1)> 0\\ f(t_2)\geqslant 0\end{array}\right.$	$\left\{\begin{array}{l} a<0\\ D>0\\ t_1<x_0<t_2\\ f(t_1)< 0\\ f(t_2)\leqslant0\end{array}\right.$	-

Один на открытом луче, другой на закрытом.

Комбинированные условия:

Нажмите, чтобы отобразить

Нажмите, чтобы скрыть

Ровно один из двух корней лежит на промежутке.

Корни по одну сторону от числа.