Это старая версия документа!
Определение
Определим отношение направленных отрезков следующим
образом:
- →AB→CD=|AB||CD|, если векторы →AB и →CD сонаправленные.
- →AB→CD=−|AB||CD|, если векторы →AB и →CD противонаправленные.
Замечание
Из определения следуют свойства:
- Можно менять знак: →AB→CD=−→AB→DC
- Можно «сокращать»: →AB→CD⋅→CD→EF=→AB→EF
- Можно делить обе части равенства на отношение: если →AB→CD=→EF→KL, то →AB→CD⋅→KL→EF=1
Теорема Менелая
Точки A1,B1 и C1, лежащие на сторонах треугольника ABC или
на их продолжениях, лежат на одной прямой тогда и только тогда,
когда
→AC1→C1B⋅→BA1→A1C⋅→CB1→B1A=−1.
Доказательство
Докажем прямую теорему
Рассмотрим треугольник ABC, и пусть прямая l пересекает стороны
AB,BC,CA или их продолжения в точках C1,A1 и B1
соответственно.
Докажем, что тогда
→AC1→C1B⋅→BA1→A1C⋅→CB1→B1A=−1.
Проведем через вершину C прямую p, параллельную прямой l.
Пусть K – это точка пересечения прямых p и AC.
По теореме Фалеса
→AB1→B1C=→AC1→C1K,→CA1→A1B=−→C1K→C1B.
Перемножив эти равенства, получим →AB1⋅→CA1→B1C⋅→A1B=−→AC1→C1B,
откуда следует, что
→AC1→C1B⋅→BA1→A1C⋅→CB1→B1A=−1.
Докажем обратную теорему.
Рассмотрим треугольник ABC. Пусть на
прямых AB,BC и AC выбраны точки C1,A1 и B1
соответственно.
Докажем, что если
→AC1→C1B⋅→BA1→A1C⋅→CB1→B1A=−1,
то точки A1,B1 и C1 лежат на одной прямой.
Пусть прямая A1B1 пересекает прямую AB в точке C2.
Докажем, что C2=C1.
Действительно, так как точки A1,B1 и C2 лежат на одной прямой, то для них выполняется равенство
→AC2→C2B⋅→BA1→A1C⋅→CB1→B1A=−1.
Но тогда →AC2→C2B=−→A1C→BA1⋅→B1A→CB1=→AC1→C1B, что и означает, что C1=C2.
Замечание
Картинка может отличаться от той, что дана при доказательстве теоремы. Но все рассуждения останутся верны. (Нужен рисунок)
Следствие
Теорема Менелая в скалярной форме.
Следствие
Пусть в треугольнике ABC чевианы AA1 и BB1 пересекаются в точке O. Тогда AOOA1=AB1B1C(CA1A1−B+1)