math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve_thm
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
| Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версия | ||
| math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve_thm [2018/04/19 11:31] – labreslav | math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve_thm [2019/04/02 18:52] (текущий) – [Теорема 4] labreslav | ||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| + | - cos^(l,m)=|→a⋅→b|→a||→b|| -- угол между прямыми | ||
| + | - sin^(l,α)=|cos^(→nα,→v)| -- угол между прямой и плоскостью | ||
| + | - cos^(α,β)=|cos^(→nα,→nβ)| -- угол между плоскостями | ||
| + | - ρ(A,α)=|→c⋅→n|→n|| -- расстояние от точки до плоскости | ||
| + | - ρ(l,m)=|→c⋅→n|→n|| -- расстояние между скрещивающимися прямыми, | ||
| + | - SABC=12⋅|→AB×→AC| -- площадь треугольника | ||
| + | - VABCD=16|(→a,→b,→c)|=16|(→a×→b)⋅→c| -- объем пирамиды | ||
| + | - VABCDA1B1C1D1=|(→a,→b,→c)|=|(→a×→b)⋅→c| -- объем параллелепипеда | ||
| + | - ρ(A,l)=|→c×→v||→v| -- расстояние от точки до прямой | ||
| + | |||
| + | ====Теорема 1==== | ||
| + | Угол между прямой l и плоскостью α можно найти из соотношения | ||
| + | sin^(l,α)=|cos^(→nα,→v)|, | ||
| + | где →v -- направляющий вектор прямой l, а →nα -- нормаль к плоскости α. | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | |||
| + | ====Теорема 2==== | ||
| + | Угол между плоскостями α и β можно найти из соотношения | ||
| + | cos^(α,β)=|cos^(→nα,→nβ)|, | ||
| + | где →nα и →nβ -- это нормали к плоскостям α и β соответственно. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | |||
| ===Лемма=== | ===Лемма=== | ||
| Пусть даны вектора ненулевые вектора →c, →n. Длина проекции вектора →c на вектор →n вычисляется по формулам | Пусть даны вектора ненулевые вектора →c, →n. Длина проекции вектора →c на вектор →n вычисляется по формулам | ||
| Строка 5: | Строка 30: | ||
| - |Pr→n→c|=|→c⋅→n|→n|| | - |Pr→n→c|=|→c⋅→n|→n|| | ||
| + | ---- | ||
| - | ====Теорема==== | + | ====Теорема |
| - | Угол между прямой l и плоскостью α можно найти из соотношения | + | |
| - | sin^(l,α)=|cos^(→nα,→v)|, | + | |
| - | где →v -- направляющий вектор прямой l, а →nα -- нормаль к плоскости α. | + | |
| - | + | ||
| - | ====Теорема==== | + | |
| Расстояние от точки A до плоскости α можно найти по формуле ρ(A,α)=|→c⋅→n|→n||, где →c -- произвольный вектор, | Расстояние от точки A до плоскости α можно найти по формуле ρ(A,α)=|→c⋅→n|→n||, где →c -- произвольный вектор, | ||
| ===Доказательство=== | ===Доказательство=== | ||
| Строка 20: | Строка 41: | ||
| Тогда ρ(A,α)=|Pr→n→c|=|→ccosφ|=||→n||→c|cosφ|→n||=|→c⋅→n|→n|| | Тогда ρ(A,α)=|Pr→n→c|=|→ccosφ|=||→n||→c|cosφ|→n||=|→c⋅→n|→n|| | ||
| - | ====Теорема==== | + | ---- |
| + | |||
| + | ====Теорема | ||
| Расстояние между скрещивающимися прямыми l и m можно найти по формуле ρ(l,m)=|→c⋅→n|→n||, где →c -- произвольный вектор, | Расстояние между скрещивающимися прямыми l и m можно найти по формуле ρ(l,m)=|→c⋅→n|→n||, где →c -- произвольный вектор, | ||
| ===Доказательство=== | ===Доказательство=== | ||
| Построим плоскость α, проходящую через прямую l и параллельную прямой m. | Построим плоскость α, проходящую через прямую l и параллельную прямой m. | ||
| - | Вектор →n будет нормалью к плоскости α, так как | + | Вектор →n будет нормалью к плоскости α, так как он перпендикулярен обеим прямым. |
| Ясно, что искомое расстояние -- это длина проекции вектора →c на нормаль →n. | Ясно, что искомое расстояние -- это длина проекции вектора →c на нормаль →n. | ||
| Тогда ρ(l,m)=|Pr→n→c|=|→ccosφ|=||→n||→c|cosφ|→n||=|→c⋅→n|→n|| | Тогда ρ(l,m)=|Pr→n→c|=|→ccosφ|=||→n||→c|cosφ|→n||=|→c⋅→n|→n|| | ||
math-public/vectorniy_metod_v_prostranstve_thm.1524126702.txt.gz · Последнее изменение: 2018/04/19 11:31 — labreslav