Это старая версия документа!
- $\sin{\hat{(l,\alpha)}}=|\cos{\hat{(\vec{n}_\alpha,\vec{v})}}|$ – угол между прямой и плоскостью
- $\cos{\hat{(\alpha,\beta)}}=|\cos{\hat{(\vec{n}_\alpha,\vec{n}_\beta)}}|$ – угол между плоскостями
- $\rho(A,\alpha)=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$ – расстояние от точки до плоскости
- $\rho(l,m)=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$ – расстояние между скрещивающимися прямыми
Теорема 1
Угол между прямой $l$ и плоскостью $\alpha$ можно найти из соотношения $$\sin{\hat{(l,\alpha)}}=|\cos{\hat{(\vec{n}_\alpha,\vec{v})}}|,$$ где $\vec{v}$ – направляющий вектор прямой $l$, а $\vec{n}_\alpha$ – нормаль к плоскости $\alpha$.
Теорема 2
Угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ можно найти из соотношения $$\cos{\hat{(\alpha,\beta)}}=|\cos{\hat{(\vec{n}_\alpha,\vec{n}_\beta)}}|,$$ где $\vec{n}_\alpha$ и $\vec{n}_\beta$ – это нормали к плоскостям $\alpha$ и $\beta$ соответственно.
Лемма
Пусть даны вектора ненулевые вектора $\vec{c}$, $\vec{n}$. Длина проекции вектора $\vec{c}$ на вектор $\vec{n}$ вычисляется по формулам
- $|Pr_{\vec{n}}\vec{c}| = \Big|\,|\vec{c}|\cos{\varphi}\,\Big|$
- $|Pr_{\vec{n}}\vec{c}| = \left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$
Теорема 3
Расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ можно найти по формуле $$\rho(A,\alpha)=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|,$$ где $\vec{c}$ – произвольный вектор, соединяющий точку $A$ и плоскость $\alpha$, а $\vec{n}$ – нормаль к плоскости $\alpha$.
Доказательство
Выберем на плоскости $\alpha$ произвольную точку $B$. Тогда $\vec{c}=\overrightarrow{AB}$. Пусть $\varphi$ – это угол между векторами $\vec{c}$ и $\vec{n}$.
Ясно, что искомое расстояние – это длина проекции вектора $\vec{c}$ на нормаль $\vec{n}$.
Тогда $\rho(A,\alpha)=|Pr_{\vec{n}}{\vec{c}}|=|\vec{c}\cos{\varphi}|=\left|\dfrac{|\vec{n}|\,|\vec{c}|\cos{\varphi}}{|\vec{n}|}\right|=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$
Теорема 4
Расстояние между скрещивающимися прямыми $l$ и $m$ можно найти по формуле $$\rho(l,m)=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|,$$ где $\vec{c}$ – произвольный вектор, соединяющий данные прямые, а $\vec{n}$ перпендикулярен обеим данным прямым.
Доказательство
Построим плоскость $\alpha$, проходящую через прямую $l$ и параллельную прямой $m$.
Вектор $\vec{n}$ будет нормалью к плоскости $\alpha$, так как вектор он перпендикулярен обеим прямым.
Ясно, что искомое расстояние – это длина проекции вектора $\vec{c}$ на нормаль $\vec{n}$.
Тогда $\rho(l,m)=|Pr_{\vec{n}}{\vec{c}}|=|\vec{c}\cos{\varphi}|=\left|\dfrac{|\vec{n}|\,|\vec{c}|\cos{\varphi}}{|\vec{n}|}\right|=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$