Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:vektory-slozhenie-vychitanie [2016/10/26 13:28] – labreslav
+++ math-public:vektory-slozhenie-vychitanie [2016/10/26 13:28] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+ $\newcommand{\updownarrows}{\uparrow\!\downarrow}$
+======Линейные операции с векторами======
+=====Правило треугольника=====
+Чтобы получить сумму векторов  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$ , нужно от
+какой-либо точки  $A$  отложить вектор  $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ ,
+затем от точки  $B$  отложить вектор  $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$ .
+Вектор  $\overrightarrow{AC}$  называется суммой векторов  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$ .
+ $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
+{{:math-public:132.jpg?direct&300|}}
+=====Определение======
+Суммой двух векторов называется вектор, полученный по правилу треугольника.
+=====Теорема=====
+Определение суммы векторов корректно, то есть сумма векторов не зависит
+от выбора точки  $A$ .
+{{:math-public:133.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Докажем, что если отложить вектор  $a$  от точки  $A_1$ , то есть  $\overrightarrow{A_1B_1}=\vec{a}$ , а затем от точки
+ $B_1$  отложить вектор  $\overrightarrow{B_1C_1}=\vec{b}$ , то сумма векторов  $\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{A_1C_1}$
+будет равна вектору  $\overrightarrow{AC}$ , то есть  $\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AC}$  (рис.
+ $\ref{pic133}$ ).
+Так как  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1B_1}$ , то по теореме  $\ref{133}$  имеем  $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}$ .
+Аналогично из равенства  $\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{BC}$  следует, что
+ $\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CC_1}$ .
+Поэтому  $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{CC_1}$ .
+Но из этого равенства по той же теореме  $\ref{133}$  следует, что
+ $\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AC}$ .
+=====Правило параллелограмма=====
+Если  $ABCD$  -- параллелограмм, то
+ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$
+{{:math-public:135.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Так как  $ABCD$  -- параллелограмм, то
+ $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ . Следовательно,
+ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .
+=====Свойства сложения векторов=====
+Для любых векторов  $\vec{a}, \vec{b}$  и  $\vec{c}$
+  -  $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$ .
+  -  $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ .
+  -  $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$ .
+{{:math-public:136a.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:136b.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:136c.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:136d.jpg?direct&150|}}
+====Доказательство====
+Первой свойство очевидно.
+Докажем второе свойство.
+Возможны два случая:  $1)$  векторы  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  неколлинеарны, 2) вектора
+ $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  коллинеарны.
+Рассмотрим первый случай.
+Пусть вектора  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  неколлинеарны.
+Отложим их от точки  $A$ :  $\overrightarrow{AB}=a$  и  $\overrightarrow{AD}=b$  -- и построим
+на этих векторах параллелограмм  $ABCD$  (рис.  $\ref{pic136}$  a).
+Поскольку $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC},
+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\vec{a}$ и
+ $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{b}$ , то
+ $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ .
+Рассмотрим второй случай.
+Пусть вектора  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  коллинеарны.
+Если вектора  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  сонаправлены, то можно их последовательно отложить от точки  $A$  двумя способами, то есть  $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ , или
+ $\vec{b}+\vec{a}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AC_1}$
+(рис.  $\ref{pic136}$  b).
+Докажем, что  $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC_1}$ .
+Вектора  $\overrightarrow{AC}$  и  $\overrightarrow{AC_1}$  очевидно сонаправлены, кроме того их модули равны  $|\vec{a}|+|\vec{b}|$ .
+Следовательно, эти вектора равны.
+Рассмотрим случай, когда вектора  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  противоположно направлены (рис.
+ $\ref{pic136}$  c).
+Пусть кроме того  $|\vec{a}|>|\vec{b}|$ .
+Тогда  $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ ,
+при этом  $|\overrightarrow{AC}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$ .
+C другой стороны  $\vec{b}+\vec{a}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AC_1}$ ,
+при этом  $|\overrightarrow{AC_1}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$ .
+Таким образом модули векторов  $\overrightarrow{AC}$  и  $\overrightarrow{AC_1}$  равны, кроме того они сонаправлены,
+следовательно,  $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC_1}$ .
+Докажем третий пункт теоремы.
+Отложим от точки  $A$  вектор  $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ , затем от точки  $B$  вектор
+ $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$ , а потом от точки  $C$  вектор  $\overrightarrow{CD}=\vec{c}$  (рис.  $\ref{pic136}$  d).
+Тогда  $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$ .
+C другой стороны,  $\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$ .
+Итак  $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$ .
+=====Правило цепочки======
+При любом расположении точек  $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n$  верно равенство  $\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+\ldots+\overrightarrow{A_{n-1}A_n}=\overrightarrow{A_1A_n}$
+=====Определение=====
+Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины
+равны и они противоположны по направлению. Ноль-вектор считается
+противоположным самому себе (рис.  $\ref{pic137}$ ).
+{{:math-public:137.jpg?direct&150|}}
+=====Теорема=====
+  -  $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$ .
+  - Если  $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$ , то  $\vec{a}=-\vec{b}$ .
+====Доказательство=====
+Докажем первый пункт.
+Пусть  $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ .
+Тогда  $-\vec{a}=\overrightarrow{BA}$ .
+Следовательно,  $\vec{a}+(-\vec{a})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$ .
+Докажем второй пункт.
+Пусть  $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$ .
+Тогда, если  $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ , то поскольку  $\vec{0}=\overrightarrow{AA}$ , то  $\vec{b}=\overrightarrow{BA}$ .
+Таким образом, вектора  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  равны по модулю и противоположны по направлению, то есть векторы  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  противоположны.
+=====Разность векторов=====
+Разностью векторов  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  называется такой вектор
+ $\vec{c}$ , что  $\vec{c}+\vec{b}=\vec{a}$ . Принято обозначать
+ $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$ .
+{{:math-public:134.jpg?direct&150|}}
+=====Следствие=====
+ $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ .
+=====Теорема=====
+Для любых двух векторов  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  справедливо равенство
+ $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$ .
+{{:math-public:138.jpg?direct&150|}}
+====Доказательство====
+Пусть  $\vec{c}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\vec{a}-\vec{b}$ .
+По правилу треугольника  $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}$ .
+Кроме того  $\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{OB}=-\vec{b}$ .
+Поэтому  $\vec{a}- \vec{b}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OA}+(-\overrightarrow{OB})=\vec{a}+(-\vec{b})$ .