Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:vidy-dvizhenij-povorot [2016/05/05 11:42] – создано labreslav
+++ math-public:vidy-dvizhenij-povorot [2016/05/09 12:28] (текущий) – [Поворот в координатах] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+======Поворот======
+=====Определение=====
+Поворотом фигуры вокруг точки $O$ на угол $\varphi$ называется такое преобразование, которое каждую точку $X$ переводит в точку $X'$, при этом $OX=OX'$ и угол $XOX'$ отложенный в заданном направлении от луча $OX$ равен $\varphi$.
+=====Теорема=====
+Поворот можно представить в виде композиции двух осевых симметрий.
+ ====Доказательство====
+Рассмотрим поворот $R_{O,\varphi}$.
+Докажем, что $R_{O,\varphi}=S_{l_2}\circ S_{l_1}$, где прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке $O$ под углом $\frac{\varphi}{2}$.
+Необходимо доказать, что для любой точки $X$ будет выполнено $X'=X''$, где $X'=R_{O,\varphi}(X)$ и $X''=S_{l_2}(S_{l_1}(X))$.
+Если $X=O$, то равенство $X=X''$ очевидно, так как точка $O$ остаётся неподвижной.
+Пусть теперь точка $X$ не совпадает с точкой $O$.
+Прямые $l_1$ и $l_2$ образуют два острых и два тупых угла.
+Пусть точка $X$ лежит на прямой $l_1$.
+Тогда $S_{l_1}(X)=X$.
+Пусть $Y=S_{l_1}(X)$.
+Тогда $\angle (X;l_1)=\angle (Y;l_2)$, обозначим эти углы $\alpha$.
+Кроме того, пусть $\beta=\angle (X;l_2)$.
+Если $\alpha <\beta$ и $\alpha < \frac{\varphi}{2}$
+=====Теорема=====
+Поворот является движением.
+=====Поворот в координатах=====
+Пусть точка $X(x;y)$ при повороте на угол $\varphi$ вокруг начала координат в положительном направлении переходит в точку $X'(x';y')$. Тогда координаты $X$ и $X'$ связаны соотношениями:
+$$\left\{\begin{array}{l}x'=x\cos{\varphi}-y\sin{\varphi}, \\
+                   y'=x\sin{\varphi}+y\cos{\varphi};
+                 \end{array}\right.
+\left\{\begin{array}{l}
+                   x=x'\cos{\varphi}+y'\sin{\varphi}, \\
+                   y=y'\cos{\varphi}-x'\sin{\varphi}.
+                 \end{array}\right.$$