Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:vsevmeste2 [2016/04/14 18:48] – создано labreslav
+++ math-public:vsevmeste2 [2016/04/14 18:50] (текущий) – создано labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+\section{Векторы}
+\subsection{Определение вектора}
+\begin{dfn}\label{def31}
+Величина, которая характеризуется своим численным значением,
+направлением и складывается по правилу треугольника, называется
+векторной величиной.\end{dfn}
+\begin{dfn}\label{def32}
+Направленный отрезок -- это отрезок один конец которого считается
+началом, а другой концом.\end{dfn}
+\begin{dfn}\label{def33.1}
+Направленные отрезки называются сонаправленными, если выполняется
+одно из двух следующих условий:
+\begin{enumerate}
+  \item отрезки лежат на одной прямой, и лучи, задаваемые этими
+  отрезками в пересечении дают луч (рис. \ref{pic124} a);
+  \item отрезки лежат на параллельных прямых, и их концы лежат в
+  одной полуплоскости относительно прямой, соединяющей начала
+  направленных отрезков (рис. \ref{pic124} b).
+\end{enumerate}
+\end{dfn}
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{124-1}\\
+a)
+\end{center}
+\end{minipage}
+\hspace{1cm}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{124-2}\\
+b)
+\end{center}
+\end{minipage}
+\caption{\footnotesize\textit{Определение
+\ref{def33.1}.}}\label{pic124}
+\end{center}
+\end{figure}
+\begin{dfn}\label{def33.2}
+Направленные отрезки называются сонаправленными, если они лежат на
+параллельных прямых или на одной прямой, и при этом лучи, задаваемые
+этими направленными отрезками лежат по одну сторону от некоторой
+непараллельной им прямой, то есть в одной полуплоскости,
+ограниченной этой прямой (рис. \ref{pic125}).
+\end{dfn}
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{125}\\
+\end{center}
+\end{minipage}
+\caption{\footnotesize\textit{Определение
+\ref{def33.2}.}}\label{pic125}
+\end{center}
+\end{figure}
+\begin{dfn}\label{def33.3}
+Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ сонаправлены,
+если найдётся такая прямая $a$, что, во-первых, они перпендикулярны
+этой прямой и, во-вторых, лучи $AB$ и $CD$ лежат по одну сторону от
+этой прямой (рис. \ref{pic126}).
+\end{dfn}
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{126}\\
+\end{center}
+\end{minipage}
+\caption{\footnotesize\textit{Определение
+\ref{def33.3}.}}\label{pic126}
+\end{center}
+\end{figure}
+\begin{utv}\label{utv33}
+Определения \ref{def33.1}, \ref{def33.2} и \ref{def33.3}
+эквивалентны.
+\end{utv}
+\begin{dfn}\label{def34}
+Направленные отрезки называются противоположно направленными, если
+выполняется одно из двух следующих условий:
+\begin{enumerate}
+  \item отрезки лежат на одной прямой, и лучи, задаваемые этими
+  отрезками в пересечении дают отрезок, точку или пустое множество;
+  \item отрезки лежат на параллельных прямых, и их концы лежат в
+  разных полуплоскостях относительно прямой, соединяющей начала
+  направленных отрезков.
+\end{enumerate}
+\end{dfn}
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{127-1}\\
+a)
+\end{center}
+\end{minipage}
+\hspace{1cm}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{127-2}\\
+b)
+\end{center}
+\end{minipage}
+\caption{\footnotesize\textit{Определение
+\ref{def34}.}}\label{pic127}
+\end{center}
+\end{figure}
+\begin{dfn}\label{def34.2}
+Направленные отрезки называются противоположно направленными, если
+они лежат на параллельных прямых (или на одной прямой), но не
+сонаправлены.
+\end{dfn}
+\begin{zam}
+Определения \ref{def34} и \ref{def34.2} эквивалентны.
+\end{zam}
+\begin{dfn}\label{def35}
+Направленные отрезки называются равными, если они равны по длине и
+сонаправлены.\end{dfn}
+\begin{dfn}\label{def36}
+Вектор -- это класс эквивалентности направленных отрезков, по
+отношению эквивалентности <<равенство>> (или проще: класс равных
+направленных отрезков).\end{dfn}
+\begin{dfn}\label{def37}
+Для любой точки $A$, вектор $\overrightarrow{AA}$ называется
+ноль-вектором и обозначается $\vec{0}$.\end{dfn}
+\begin{dfn}\label{def38}
+Вектора называются коллинеарными, если их направленные отрезки
+сонаправлены или противоположно направлены.\end{dfn}
+\begin{thm}\label{130}
+Два вектора сонаправленные с третьим вектором, сонаправлены.
+\end{thm}
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{128}\\
+\end{center}
+\end{minipage}
+\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{130}.}}\label{pic128}
+\end{center}
+\end{figure}
+\begin{proof}\ \par
+ Пусть векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$
+сонаправлены с вектором $\overrightarrow{MN}$ (рис. \ref{pic128}).
+Докажем, что $\overrightarrow{AB}\upuparrows \overrightarrow{CD}$.
+Так как $\overrightarrow{AB}\upuparrows \overrightarrow{MN}$, то по
+определению \ref{def33.3} найдется такая перпендикулярная им прямая
+$a$, от которой лучи $AB$ и $MN$ лежат по одну сторону. Точно так же
+для векторов $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{MN}$ найдётся
+перпендикулярная им прямая $b$, от которой лучи $CD$ и $MN$ лежат по
+одну сторону. Если прямые $a$ и $b$ не совпадают, то они параллельны
+(как перпендикулярные одной и той же прямой $MN$). Тогда из двух
+полуплоскостей, которые ограничены прямыми $a$ и $b$ и содержат луч
+$MN$, одна содержит другую. Будем считать, что это полуплоскость
+ограниченная прямой $a$. Эта полуплоскость содержит лучи $AB$, $CD$
+и $MN$. Тем самым выполнено второе условие определения
+\ref{def33.3}. Кроме того выполнено и первое условие, так как
+векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$
+перпендикулярны прямой $a$. Поэтому $\overrightarrow{AB}\upuparrows
+\overrightarrow{CD}$.
+\end{proof}
+\begin{dfn} \label{def39}
+Векторы называются равными, если их длины
+равны и они сонаправлены.\end{dfn}
+\begin{thm}\label{131}
+\begin{enumerate}
+  \item Каждый вектор равен самому себе.
+  \item Если вектор $\vec{a}$ равен вектору $\vec{b}$, то вектор
+  $\vec{b}$ равен вектору $\vec{a}$.
+  \item Два вектора равные третьему вектору, равны.
+\end{enumerate}
+\end{thm}
+\begin{proof}\ \par
+Первые два свойства очевидно вытекают из определения равенства
+векторов.\par Докажем третье свойство. Пусть $\vec{a}=\vec{b}$ и
+$\vec{c}=\vec{b}$. Тогда $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ и $\vec{a}\upuparrows
+\vec{b}$, а также $|\vec{c}|=|\vec{b}|$ и $\vec{c}\upuparrows
+\vec{b}$. Из равенства модулей следует, что $|\vec{a}|=|\vec{c}|$. А
+из теоремы \ref{130} вытекает, что $\vec{a}\upuparrows \vec{c}$.
+Поэтому $\vec{a}=\vec{c}$.
+\end{proof}
+\begin{thm}\label{132}
+Если четырехугольник $ABCD$ -- параллелограмм, то
+$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.\end{thm}
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{129}\\
+\end{center}
+\end{minipage}
+\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{132}.}}\label{pic129}
+\end{center}
+\end{figure}
+\begin{proof}\
+\par
+Из того, что $ABCD$ параллелограмм следует, что $AB=CD$ и
+$AB\parallel CD$ (рис. \ref{pic129}). Кроме того лучи $AB$ и $DC$
+лежат по одну сторону от прямой $AD$, следовательно вектора
+$\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ сонаправлены и равны
+по модулю. Таким образом $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
+\end{proof}
+\begin{thm}\label{133}
+Если $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, то
+$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.\end{thm}
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{130}\\
+\end{center}
+\end{minipage}
+\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{133}.}}\label{pic130}
+\end{center}
+\end{figure}
+\begin{proof}\ \par
+Из равенства векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$
+следует, что $AB=CD$ и $AB\parallel CD$, таким образом $ABDC$ --
+параллелограмм (рис. \ref{pic130}). Следовательно, по теореме
+\ref{132} $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.
+\end{proof}
+\begin{thm}\label{134}
+От любой точки $M$ можно отложить вектор, равный данному вектору
+$\vec{a}$, и при том только один.\end{thm}
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=100pt]{131}\\
+\end{center}
+\end{minipage}
+\caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{134}.}}\label{pic131}
+\end{center}
+\end{figure}
+\begin{proof}\ \par
+Рассмотрим вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ (рис. \ref{pic131}).
+Проведем через точку $M$ прямую $p$, параллельную $AB$ (если $M$ --
+точка прямой $AB$, то в качестве прямой $p$ возьмём саму прямую
+$AB$). На прямой $p$ отложим отрезки $MN$ и $MN'$, равные отрезку
+$AB$, и выберем из векторов $MN$ и $MN'$ тот, который сонаправлен с
+вектором $a$. Этот вектор и является искомым вектором, равным
+вектору $a$. Единственность следует из аксиомы \ref{aks2} (об
+откладывании отрезка) и аксиомы \ref{aks5} (о параллельных прямых).
+\end{proof}