Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:vsevmeste3 [2016/04/14 18:51] – создано labreslav
+++ math-public:vsevmeste3 [2016/04/14 18:56] (текущий) – создано labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+\subsection{Линейные операции с векторами}
+=====Правило треугольника=====
+Чтобы получить сумму векторов  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$ , нужно от
+какой-либо точки  $A$  отложить вектор  $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ ,
+затем от точки  $B$  отложить вектор  $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$
+(рис.  $\ref{pic132}$ ). Вектор  $\overrightarrow{AC}$  называется суммой
+векторов  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$ .
+ $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
+\end{dfn}
+\includegraphics[width=100pt]{132}\\
+=====Теорема=====
+Определение  $\ref{def40}$  корректно, то есть сумма векторов не зависит
+от выбора точки  $A$ .
+\end{thm}
+\includegraphics[width=100pt]{133}\\
+Докажем, что если отложить вектор  $a$  от точки
+ $A_1$ , то есть  $\overrightarrow{A_1B_1}=\vec{a}$ , а затем от точки
+ $B_1$  отложить вектор  $\overrightarrow{B_1C_1}=\vec{b}$ , то сумма
+векторов
+ $\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{A_1C_1}$
+будет равна вектору  $\overrightarrow{AC}$ , то есть
+ $\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AC}$  (рис.
+ $\ref{pic133}$ ).\par Так как
+ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1B_1}$ , то по теореме
+ $\ref{133}$  имеем  $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}$ .
+Аналогично из равенства
+ $\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{BC}$  следует, что
+ $\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CC_1}$ . Поэтому
+ $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{CC_1}$ . Но из этого равенства
+по той же теореме  $\ref{133}$  следует, что
+ $\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AC}$ .
+\end{proof}
+\begin{dfn}\label{def41}
+Разностью векторов  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  называется такой вектор
+ $\vec{c}$ , что  $\vec{c}+\vec{b}=\vec{a}$ . Принято обозначать
+ $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$  (рис.  $\ref{pic134}$ ).\end{dfn}
+\includegraphics[width=100pt]{134}\\
+\begin{sle}\label{sle.def41}
+ $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$  (рис.
+ $\ref{pic134}$ ).
+\end{sle}
+\begin{thm}[Правило параллелограмма]\label{135}
+Если  $ABCD$  -- параллелограмм, то
+ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$
+\end{thm}
+\includegraphics[width=100pt]{135}\\
+====Доказательство====
+Так как  $ABCD$  -- параллелограмм, то
+ $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ . Следовательно,
+ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .
+\end{proof}
+=====Теорема (свойства сложения векторов)=====
+Для любых векторов  $\vec{a}, \vec{b}$  и
+ $\vec{c}$
+  -  $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$ .
+  -  $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ .
+  -  $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$ .
+\includegraphics[width=100pt]{136a}\\
+\includegraphics[width=100pt]{136b}\\
+\includegraphics[width=100pt]{136c}\\
+\includegraphics[width=100pt]{136d}\\
+\begin{proof}\ \par
+Первой свойство очевидно. Докажем второе свойство. Возможны два
+случая:  $1)$  векторы  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  неколлинеарны, 2) вектора
+ $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  коллинеарны. Рассмотрим первый случай. Пусть
+вектора  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  неколлинеарны. Отложим их от точки
+ $A$ :  $\overrightarrow{AB}=a$  и  $\overrightarrow{AD}=b$  -- и построим
+на этих векторах параллелограмм  $ABCD$  (рис.  $\ref{pic136}$  a).
+Поскольку
+$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},
+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC},
+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\vec{a}$ и
+ $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{b}$ , то
+ $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ . \par Рассмотрим второй случай.
+Пусть вектора  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  коллинеарны. Если вектора
+ $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  сонаправлены, то можно их последовательно
+отложить от точки  $A$  двумя способами, то есть
+ $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ ,
+или
+ $\vec{b}+\vec{a}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AC_1}$
+(рис.  $\ref{pic136}$  b). Докажем, что
+ $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC_1}$ . Вектора
+ $\overrightarrow{AC}$  и  $\overrightarrow{AC_1}$  очевидно
+сонаправлены, кроме того их модули равны  $|\vec{a}|+|\vec{b}|$ .
+Следовательно, эти вектора равны.\par Рассмотрим случай, когда
+вектора  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  противоположно направлены (рис.
+ $\ref{pic136}$  c). Пусть кроме того  $|\vec{a}|>|\vec{b}|$ . Тогда
+ $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ ,
+при этом  $|\overrightarrow{AC}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$ . C другой
+стороны
+ $\vec{b}+\vec{a}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AC_1}$ ,
+при этом  $|\overrightarrow{AC_1}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$ . Таким
+образом модули векторов  $\overrightarrow{AC}$  и
+ $\overrightarrow{AC_1}$  равны, кроме того они сонаправлены,
+следовательно,  $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC_1}$ .\par
+Докажем третий пункт теоремы. Отложим от точки  $A$  вектор
+ $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ , затем от точки  $B$  вектор
+ $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$ , а потом от точки  $C$  вектор
+ $\overrightarrow{CD}=\vec{c}$  (рис.  $\ref{pic136}$  d). Тогда
+ $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$ .
+C другой стороны,
+ $\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$ .
+Итак  $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$ .
+\end{proof}
+\begin{dfn}\label{def42}
+Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины
+равны и они противоположны по направлению. Ноль-вектор считается
+противоположным самому себе (рис.  $\ref{pic137}$ ).
+\includegraphics[width=100pt]{137}\\
+=====Теорема=====
+  -  $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$ .
+  - Если  $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$ , то  $\vec{a}=-\vec{b}$ .
+====Доказательство====
+ Докажем первый пункт. Пусть  $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ . Тогда
+ $-\vec{a}=\overrightarrow{BA}$ . Следовательно,
+ $\vec{a}+(-\vec{a})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$ .\par
+Докажем второй пункт. Пусть  $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$ . Тогда, если
+ $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ , то поскольку
+ $\vec{0}=\overrightarrow{AA}$ , то  $\vec{b}=\overrightarrow{BA}$ .
+Таким образом, вектора  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  равны по модулю и
+противоположны по направлению, то есть векторы  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$
+противоположны.
+\end{proof}
+\begin{thm}\label{137}
+Для любых двух векторов  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  справедливо равенство
+ $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$ .
+\end{thm}
+\includegraphics[width=100pt]{138}
+\begin{proof}\ \par
+Пусть
+ $\vec{c}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\vec{a}-\vec{b}$ .
+По правилу треугольника
+ $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}$ . Кроме
+того  $\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{OB}=-\vec{b}$ . Поэтому
+ $\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OA}+(-\overrightarrow{OB})=\vec{a}+(-\vec{b})$ .
+\end{proof}
+\begin{dfn}[о произведении вектора на число]\label{def43}
+Произведением вектора  $\vec{a}\neq\vec{0}$  на число  $x\neq0$
+называется такой вектор  $x\vec{a}$ , для которого выполняются два
+условия:\begin{enumerate}
+          \item  $|x\cdot\vec{a}|=|x|\cdot|\vec{a}|$
+          \item он сонаправлен с вектором  $\vec{a}$ , если  $x>0$ , и
+          противоположно направлен вектору  $\vec{a}$ , если  $x<0$
+        \end{enumerate}
+Если же  $\vec{a}=\vec{0}$  или  $x=0$ , то вектор  $x\vec{a}=\vec{0}$
+(рис.  $\ref{pic138}$ )
+\includegraphics[width=100pt]{139a}\\
+\includegraphics[width=100pt]{139b}\\
+\begin{sle*}\label{sle.def43}\
+  -  $1\cdot \vec{a}=\vec{a}$  для любого вектора  $\vec{a}$ .
+  -  $(-1)\vec{a}=-\vec{a}$  для любого вектора  $\vec{a}$ .
+  - Если  $x\vec{a}=x\vec{b}$  и  $x\neq0$ , то  $\vec{a}=\vec{b}$ .
+  - Если  $x\vec{a}=y\vec{a}$  и  $\vec{a}\neq\vec{0}$ , то  $x=y$ .
+\begin{proof}\ \par
+\begin{itemize}
+  \item По определению вектор  $1\cdot \vec{a}$  по модулю равен
+   $1\cdot|\vec{a}|=|\vec{a}|$ , кроме того он сонаправлен с
+   $\vec{a}$ , так как  $1>0$ .
+  \item По определению вектор  $1\cdot \vec{a}$  по модулю равен
+   $|-1|\cdot|\vec{a}|=|\vec{a}|$ , кроме того он противоположнонаправлен с
+   $\vec{a}$ , так как  $-1<0$ , следовательно, это вектор  $-\vec{a}$ .
+  \item Если  $x\vec{a}=x\vec{b}$ , то
+   $|x|\cdot|\vec{a}|=|x|\cdot|\vec{b}|$ , и так как  $x\neq0$ , то
+   $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ . Кроме того, если  $x>0$ , то вектора  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$
+  сонаправлены с  $\vec{a}$ , а если  $x<0$ , то они сонаправлены с
+   $-\vec{a}$ . Таким образом  $\vec{a}=\vec{b}$ .
+  \item Если  $x\vec{a}=y\vec{a}$ , то
+   $|x|\cdot|\vec{a}|=|y|\cdot|\vec{a}|$ , а так как
+   $\vec{a}\neq\vec{0}$ , то на  $|\vec{a}|$  можно сократить,
+  следовательно,  $|x|=|y|$ . А так как вектора  $x\vec{a}$   $y\vec{a}$ ,
+  то числа  $x$  и  $y$  одного знака. Следовательно,  $x=y$ .
+\end{itemize}
+\end{proof}
+\begin{thm}[Характеристическое свойство коллинеарных векторов]\label{139}
+Вектор  $\vec{b}$  коллинеарен ненулевому вектору  $\vec{a}$  тогда и
+только тогда, когда  $\vec{b}=x\vec{a}$ .
+\end{thm}
+\begin{proof}\ \par
+Если  $\vec{b}=x\vec{a}$ , то векторы  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$
+коллинеарны по определению умножения вектора на число.\par Теперь
+докажем, что если  $\vec{b}\parallel \vec{a}$ , то найдется такое
+число  $x$ , что  $\vec{b}=x\vec{a}$ . Если  $\vec{b}=\vec{0}$ , то  $x=0$ .
+Если же  $\vec{b}\neq\vec{0}$ , то возможны два случая:
+\begin{enumerate}
+    \item  $\vec{b}\upuparrows \vec{a}$ , тогда
+     $x=\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$ . Действительно, вектор
+     $x\vec{a}$  будет сонаправлен с  $\vec{b}$ , так как  $x>0$ , кроме
+    того
+     $|x\vec{a}|=\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\cdot|\vec{a}|=|\vec{b}|$ .
+    Следовательно,  $\vec{b}=x\vec{a}$ .
+    \item  $\vec{b}\updownarrows \vec{a}$ , тогда аналогично первому
+    случаю
+     $x=-\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$ .
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{sle}\label{sle139.1}
+Два вектора, отложенные от одной и той же точки, лежат на одной
+прямой тогда и только тогда, когда один из них получается из другого
+умножением на число.
+\end{sle}
+\begin{proof}\ \par
+Рассмотрим вектора  $\overrightarrow{AX}$  и  $\overrightarrow{AB}$ .
+Если точка  $X$  лежит на прямой  $AB$ , то вектора
+ $\overrightarrow{AX}$  и  $\overrightarrow{AB}$  коллинеарны по
+определению, и, следовательно
+ $\overrightarrow{AX}=x\overrightarrow{AB}$ .\par Обратно, если
+ $\overrightarrow{AX}=x\overrightarrow{AB}$ , то вектора
+ $\overrightarrow{AX}$  и  $\overrightarrow{AB}$  коллинеарны, а так как
+у них есть общая точка  $A$ , то они лежат на одной прямой.
+\end{proof}
+\begin{thm}\label{142}
+Для любых чисел  $k, l$  и любых векторов  $\vec{a}, \vec{b}$
+справедливы равенства:
+\begin{enumerate}
+  \item  $(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})$ ;
+  \item  $(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$ ;
+  \item  $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$ .
+\end{enumerate}
+\end{thm}
+\begin{proof}\ \par
+\begin{enumerate}
+  \item Докажем, что для любых чисел  $k$ ,  $l$  и любого вектора  $\vec{a}$
+  справедливо равенство  $(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})$ . Если  $\vec{a}=\vec{0}$ , то
+  справедливость этого равенство очевидна. Пусть  $a\neq0$ . Имеем:
+   $|(lk)\vec{a}|=|kl||\vec{a}|=|k||l||\vec{a}|=|k||l\vec{a}|=|k(l\vec{a})|$ .\par
+  Далее, если  $kl\geqslant0$ , то  $(kl)\vec{a}\upuparrows \vec{a}$  и $k(l\vec{a})\upuparrows
+  \vec{a} $; если же$ kl<0 $, то$ (kl)\vec{a}\updownarrows \vec{a} $и$ k(l\vec{a})\updownarrows
+  \vec{a} $. И в том и в другом случае$ (kl)\vec{a}\upuparrows k(l\vec{a})$.
+  Следовательно,  $(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})$ .
+  \item Докажем, что для любого числа  $k$  и любых векторов  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$
+  справедливо равенство  $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$ . Если  $k=0$ , или  $\vec{a}=\vec{0}$ , или
+   $\vec{b}=\vec{0}$ , то справедливость этого равенства очевидна. Пусть $k\neq0, \vec{a}\neq\vec{0},
+  \vec{b}\neq\vec{0}.$\par Возможны три случая.
+\begin{enumerate}
+    \item  $\vec{a}\upuparrows \vec{b}$ . Тогда вектора  $k(\vec{a}+\vec{b}), k\vec{a}$ ,  $k\vec{b}$ , а
+    следовательно, и  $k\vec{a}+k\vec{b}$ ,
+    сонаправлены. Кроме того
+     $|k(\vec{a}+\vec{b})|=|k|(|\vec{a}|+|\vec{b}|)=|k\vec{a}|+|k\vec{b}|=|k\vec{a}+k\vec{b}|$ . Следовательно,
+     $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$ .
+    \item  $\vec{a}\updownarrows \vec{b}$ . Пусть для определённости
+     $|\vec{a}|\geqslant|\vec{b}|$ . Тогда и  $|k\vec{a}|\geqslant|k\vec{b}|$ . Тогда
+     $k(\vec{a}+\vec{b})\upuparrows(k\vec{a}+k\vec{b})$ . Кроме того в этом случае
+     $|k(\vec{a}+\vec{b})|=|k|(|\vec{a}|-|\vec{b}|)=|k\vec{a}|-|k\vec{b}|=|k\vec{a}+k\vec{b}|$ . Следовательно,
+     $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$ .
+    \item  $\vec{a}\not\parallel \vec{b}$ . Тогда отложим  от какой-нибудь точки
+     $O$  векторы  $\overrightarrow{OA_1}=\vec{a}$  и  $\overrightarrow{OA}=k\vec{a}$ , а от точек  $A_1$  и  $A$  векторы
+     $\overrightarrow{A_1B_1}=\vec{b}$  и  $\overrightarrow{AB}=k\vec{b}$ . Треугольники  $OA_1B_1$  и  $OAB$  подобны с
+    коэффициентом подобия  $|k|$  по второму признаку подобия
+    треугольников. Следовательно,  $\overrightarrow{OB}=k\cdot \overrightarrow{OB_1}=k(\vec{a}+\vec{b})$ . C другой
+    стороны,  $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=k\vec{a}+k\vec{b}$ . Итак,  $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$ .
+\end{enumerate}
+  \item Докажем, что для любых чисел  $k, l$  и любого вектора  $\vec{a}$
+  справедливо равенство  $(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$ . Если  $k=l=0$ , то
+  справедливость этого равенство очевидна. Пусть хотя бы одно из
+  чисел  $k, l$  отлично от нуля. Для определённости будем считать,
+  что  $|k|\geqslant|l|$ , и, следовательно,  $k\neq0$  и
+   $\left|\frac{l}{k}\right|\leqslant1$ .\par
+  Рассмотрим вектор  $\vec{a}+\frac{l}{k}\vec{a}$ . Очевидно, $(\vec{a}+\frac{l}{k}\vec{a})\upuparrows
+  \vec{a} $. Далее,$ |\vec{a}+\frac{l}{k}\vec{a}|=|\vec{a}|+\frac{l}{k}|\vec{a}|=(1+\frac{l}{k})\vec{a}$.
+  Умножая обе части этого равенства на  $k$ , получим, что справедливо
+  равенство  $k\vec{a}+l\vec{a}=(k+l)\vec{a}$ .
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{thm}[теорема << $\alpha-\beta$ >>]\label{140}
+Если точка  $C$  лежит на отрезке  $AB$ , и  $AC:CB=\alpha:\beta$ , то
+ $\overrightarrow{OC}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{OB}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{OA}$ .
+\end{thm}
+\includegraphics[width=100pt]{140}\\
+\begin{proof}\ \par
+Выберем произвольную точку  $O$  и обозначим
+$\vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{b}=\overrightarrow{OB},
+\vec{c}=\overrightarrow{OC}$ (рис.  $\ref{pic140}$ ). Тогда
+ $\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$ ,
+ $\overrightarrow{AC}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}(\vec{b}-\vec{a})$ .
+Тогда
+$\vec{c}=\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\frac{\alpha}{\alpha+\beta}(\vec{b}-\vec{a})=\frac{\alpha
+\vec{a}+\beta \vec{a}+\alpha \vec{b}-\alpha
+\vec{a}}{\alpha+\beta}=\frac{\beta \vec{a}+\alpha
+\vec{b}}{\alpha+\beta}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}
+\vec{a}+\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \vec{b}$, то есть
+ $\overrightarrow{OC}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{OB}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{OA}$ .
+\end{proof}