Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:mnogougolniki [2017/04/06 20:32] – labreslav
+++ math-public:mnogougolniki [2022/01/14 17:49] (текущий) – [Доказательство] mesuslina
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+[[:math-public:parallelogramm|Назад]] --- [[:math-public:index|Оглавление]] --- [[:math-public:parallelogramm|Вперед]]
+=======Многоугольники.=======
+======Ломаная======
+=====Определение=====
+**Ломаной линией**, или короче, **ломаной**, называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго отрезка служит концом третьего и т.д. При этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. Эти отрезки называют звеньями ломаной.
+{{:math-public:200.jpg?direct&300|}}
+=====Виды ломаной=====
+  - Ломаная называется **замкнутой**, если начало первого отрезка совпадает с концом последнего.
+  - Ломаная может пересекать сама себя, коснуться сама себя, налегать на себя. Если таких особенностей нет, то такая ломаная называется **простой**.
+{{:math-public:201.jpg?direct&100|}}
+{{:math-public:202.jpg?direct&100|}}
+{{:math-public:203.jpg?direct&100|}}
+{{:math-public:204.jpg?direct&100|}}
+======Многоугольники======
+=====Определение=====
+Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется **многоугольником**.
+{{:math-public:205.jpg?direct&150|}}
+=====Замечание=====
+В каждой вершине многоугольника его стороны задают некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше развернутого, так и больше развернутого.
+{{:math-public:206.jpg?direct&150|}}
+=====Свойство=====
+У каждого многоугольника есть угол, меньший $180^\circ$.
+====Доказательство====
+{{:math-public:207.jpg?direct&300|}}
+Пусть дан многоугольник $P$.
+Проведем какую-нибудь прямую, не пересекающую его. Будем перемещать ее параллельно в сторону многоугольника. В некоторый момент мы впервые получим прямую $a$, имеющую с многоугольником $P$ хотя бы одну общую точку. От этой прямой многоугольник лежит по одну сторону (при этом некоторые его точки лежат на прямой $a$).
+На прямой $a$ лежит хотя бы одна вершина многоугольника. В ней сходится две его стороны, расположенные по одну сторону от прямой $a$ (считая и тот случай, когда одна из них лежит на этой прямой). А значит, при этой вершине угол меньше развернутого.
+=====Определение=====
+Многоугольник называется **выпуклым**, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если многоугольник не является выпуклым, его называют **невыпуклым**.
+{{:math-public:208.jpg?direct&150|}} {{:math-public:209.jpg?direct&150|}}
+====Замечание====
+Выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольника.
+{{:math-public:210.jpg?direct&200|}}
+=====Свойства выпуклого многоугольника=====
+  - У выпуклого многоугольника все углы меньше $180^\circ$.
+  - Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника (в частности, любая его диагональ), содержится в этом многоугольнике.
+====Доказательство====
+===Докажем первое свойство===
+{{:math-public:212.jpg?direct&150|}}
+Возьмем любой угол $A$ выпуклого многоугольника $P$ и его сторону $a$, идущую из вершины $A$. Пусть $l$ -- прямая, содержащая сторону $a$. Так как многоугольник $P$ выпуклый, то он лежит по одну сторону от прямой $l$. Следовательно, и его угол $A$ лежит по одну сторону от этой прямой. Значит угол $A$ меньше развернутого угла, то есть меньше $180^\circ$.
+===Докажем второе свойство===
+{{:math-public:211.jpg?direct&150|}}
+Возьмем любые две точки $A$ и $B$ выпуклого многоугольника $P$. Многоугольник $P$ является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок $AB$ содержится в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике $P$.
+=====Определение=====
+**Диагональю многоугольника** называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины.
+{{:math-public:213.jpg?direct&150|}}
+=====Теорема (о количестве диагоналей n-угольника)=====
+Количество диагоналей выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $\dfrac{n(n-3)}{2}$.
+====Доказательство====
+{{:math-public:214.jpg?direct&150|}}
+Из каждой вершины n-угольника можно провести $n-3$ диагонали (нельзя провести диагональ в соседние вершины и в саму эту вершину). Если посчитать все такие возможные отрезки, то их будет $n\cdot(n-3)$, так как вершин $n$. Но каждая диагональ будет посчитана дважды. Таким образом, количество диагоналей n-угольника равно $\dfrac{n(n-3)}{2}$.
+=====Теорема (о сумме углов n-угольника)=====
+Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.
+{{:math-public:021.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим $n$-угольник $A_1A_2A_3\ldots A_n$.
+Возьмём внутри этого многоугольника произвольную точку $O$.
+Сумма углов всех треугольников $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, $\ldots$, $A_{n-1}OA_n$
+равна $180^\circ\cdot n$.
+C другой стороны эта сумма складывается из суммы всех внутренних углов многоугольника и полного угла $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=360^\circ$.
+Тогда сумма углов рассматриваемого $n$-угольника равна $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.
+=====Теорема=====
+Сумма углов невыпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.
+{{:math-public:021_1.jpg?direct&300|}}
+(без доказательства)
+=====Теорема (о сумме внешних углов выпуклого n-угольника)=====
+Сумма внешних углов выпуклого $n$-угольника равна $360^\circ$.
+{{:math-public:011.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Внешний угол при вершине $A_1$ равен $180^\circ-\angle A_1$.
+Сумма всех внешних углов равна:
+$\sum\limits_{n}(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ -
+\sum\limits_{n}A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n-2)=360^\circ$.