Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:modul-funkcii-i-argumenta [2016/05/01 22:14] – создано labreslav
+++ math-public:modul-funkcii-i-argumenta [2016/11/29 17:35] (текущий) – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+======Модуль  функции и аргумента======
+=====Теорема 1=====
+Чтобы из графика $y=f(x)$ построить график $y=|f(x)|$, нужно  ту часть графика, для которой $y<0$, симметрично отобразить относительно оси $Ox$ наверх, а ту, для которой $y\geqslant0$, оставить без изменений.
+====Доказательство====
+Пусть точка $A(x_0;y_0)$ принадлежит графику $y=f(x)$, т.е. $y_0=f(x_0)$.
+Возможны два случая.
+===Первый случай.===
+Пусть $y_0\geqslant0$.
+Тогда подстановкой легко проверить, что точка $A\left(x_0; y_0\right)$ будет принадлежать и графику $y=|f(x)|$.
+Действительно, $|f(x_0)|=|y_0|=y_0$.
+Таким образом в этом случае точка $A(x_0;y_0)$ осталась неподвижной.
+===Второй случай.===
+Пусть $y_0<0$.
+Тогда подстановкой легко проверить, что точка $A\left(x_0; |y_0|\right)$ будет принадлежать и графику $y=|f(x)|$.
+Действительно, $|f(x_0)|=|y_0|$.
+Таким образом в этом случае точка $A(x_0;y_0)$ перешла в точку $A'(x_0, |y_0|)$, которая симметрична точке $A$ относительно оси $Ox$ и лежит в верхней полуплоскости.
+=====Теорема 2=====
+Чтобы из графика $y=f(x)$ построить график $y=f(|x|)$, нужно ту, часть графика, для которой $x<0$, стереть, а оставшуюся часть графика, для которой $x\geqslant0$, скопировать симметрично относительно оси $Oy$.
+====Доказательство====
+Пусть точка $A(x_0;y_0)$ принадлежит графику $y=f(x)$, т.е. $y_0=f(x_0)$.
+Возможны два случая.
+Пусть $x_0\geqslant0$.
+Тогда подстановкой легко проверить, что точка $A\left(x_0; y_0\right)$ будет принадлежать и графику $y=f(|x|)$.
+Далее, поскольку функция $f(|x|)$ четна (то есть $f(|-x|)=f(|x|)$), то её график симметричен относительно оси $Ox$, а значит ту часть графика, которая соответствует $x\geqslant0$, нужно скопировать симметрично относительно оси $Ox$.