Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:obobshchennaya_teorema_sinusov [2016/04/08 18:53] – создано labreslav
+++ math-public:obobshchennaya_teorema_sinusov [2017/02/12 08:55] (текущий) – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Обобщенная теорема синусов=====
+В треугольнике со сторонами $a,b,c$, углами $\alpha,\beta,\gamma$ и
+радиусом описанной окружности $R$ выполняется соотношение
+$2R=\dfrac{a}{\sin{\alpha}}=\dfrac{b}{\sin{\beta}}=\dfrac{c}{\sin{\gamma}}$.
+{{:math-public:098a.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:098b.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:098c.jpg?direct&150|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим треугольник $ABC$, около которого описана окружность с
+центром $O$ и радиусом $R$.
+Обозначим $a=BC, \alpha=\angle A$.
+Докажем, что $\dfrac{BC}{\sin{\angle A}}=2R$ или $2R=\dfrac{a}{\sin{\alpha}}$.
+Возможны три случая: когда угол $\angle \alpha$ прямой, острый или
+тупой.
+===Рассмотрим первый случай.===
+Пусть угол $A$ прямой.
+Так как вписанный угол равный $90^\circ$ опирается на диаметр, то $BC=2R$.
+Но так как $\sin{A}=\sin{90^\circ}=1$, то $BC=2R\cdot 1=BC\sin{\alpha}$.
+===Рассмотрим второй случай.===
+Пусть угол $\angle A$ -- острый.
+Проведем диаметр $BD$ и рассмотрим треугольник $\triangle DBC$.
+Так как углы $\angle A$ и $\angle D$ опираются на одну и туже дугу $\buildrel\,\,\frown\over{BC}$, то $\angle A=\angle D$.
+Кроме того, угол $\angle BCD$ опирается на диаметр, следовательно, $\angle BCD=90^\circ$.
+Тогда из прямоугольного треугольника $\triangle BCD$ $\sin{D}=\dfrac{BC}{2R}$ или $2R=\dfrac{BC}{\sin{A}}$.
+===Рассмотрим третий случай.===
+Пусть угол $\angle A$ -- тупой.
+Проведем диаметр $BD$ и рассмотрим треугольник $\triangle DBC$.
+Так как угол $\angle A$ опирается на дугу $\buildrel\,\,\frown\over{BDC}$, а угол $\angle D$ опирается на дугу $\buildrel\,\,\frown\over{BAC}$, то $\angle D=180^\circ-\angle A$.
+Кроме того, угол $\angle BCD$ опирается на диаметр, следовательно, $\angle
+BCD=90^\circ$.
+Тогда из прямоугольного треугольника $\triangle BCD$ получим $\sin{D}=\dfrac{BC}{2R}=\sin{(180^\circ-\angle A)}=\sin{A}$ или $2R=\dfrac{BC}{\sin{A}}$.