Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:vectornoye_proizvedenie_cherez_opredelitel [2018/05/17 22:17] – labreslav
+++ math-public:vectornoye_proizvedenie_cherez_opredelitel [2018/05/18 15:58] (текущий) – [Теорема 2] labreslav
@@ Строка 45: / Строка 45: @@
 Пусть конец вектора  $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$  -- это точка  $C_{2}$ . Тогда эта точка  $C_{2}$  во второй системе координат имеет координаты  $(X_{C_2},Y_{C_2},Z_{C_2}) = (\tilde{y}_1\tilde{z}_2-\tilde{z}_1\tilde{y}_2; -\tilde{x}_1\tilde{z}_2+\tilde{z}_1\tilde{x}_2; \tilde{x}_1\tilde{y}_2-\tilde{y}_1\tilde{x}_2)$ .
-Докажем, что точки  $C_{1}$  и  $C_{2}$  совпадают. Для этого по шагам:
+Докажем, что точки  $C_{1}$  и  $C_{2}$  совпадают. Для этого:
   - найдем координаты точки  $C_{1}$  в изначальной системе координат
   - по формулам поворота найдем координаты точки  $C_{1}$  в новой системе координат;
@@ Строка 58: / Строка 58: @@
 Будем откладывать вектора  $\vec{a}$ ,  $\vec{b}$ ,  $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$  и  $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$  от начала координат.
-==Шаг 1)==
 Пусть в первой системе координат вектор  $\vec{a}$  имеет координаты  $(x_1;y_1;z_1)$ , а вектор  $\vec{b}$  имеет координаты  $(x_2;y_2;z_2)$ .\\
 Пусть конец вектора  $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$  -- это точка  $C_{1}$ . Тогда эта точка  $C_{1}$  в первой системе координат имеет координаты  $(X,Y,Z) = (y_1z_2-z_1y_2; -x_1z_2+z_1x_2; x_1y_2-y_1x_2)$ .
-==Шаг 2)==
 Применяя формулу поворота системы координат, получим, что координаты точки  $C_1$  во второй системе координат равны:
@@ Строка 68: / Строка 68: @@
  $\Big((y_1z_2-z_1y_2)\cdot\cos{\varphi}+(-x_1z_2+z_1x_2)\cdot\sin{\varphi};\ -(y_1z_2-z_1y_2)\cdot\sin{\varphi}+(-x_1z_2+z_1x_2)\cdot\cos{\varphi};\ x_1y_2-y_1x_2\Big)$
-==Шаг 3)==
 Во второй системе координат вектор  $\vec{a}$  имеет координаты  $(x_1\cos{\varphi}+y_1\sin{\varphi};\ -x_1\sin{\varphi}+y_1\cos{\varphi};\ z_1)$ .\\
 Во второй системе координат вектор  $\vec{b}$  имеет координаты  $(x_2\cos{\varphi}+y_2\sin{\varphi};\  -x_2\sin{\varphi}+y_2\cos{\varphi};\ z_2)$ .
-==Шаг 4)==
 Вычислим координаты вектора  $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$  (это координаты во второй системе координат):
@@ Строка 97: / Строка 96: @@
 Таким образом мы нашли координаты точки  $C_{2}$  во второй системе координат.
-==Шаги 5) и 6)==
-Найденные координаты точки $C_{II} $совпали с координатами точки$ C_1 $в той же, второй, системе координат. Значит и сами точки$ C_1 $и$ C_2 $совпадают. Значит и вектора$ (\vec{a}\times\vec{b})_{I} $и$ (\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ равны в смысле длины и направления.
+Найденные координаты точки $C_{2} $совпали с координатами точки$ C_1 $в той же, второй, системе координат. Значит и сами точки$ C_1 $и$ C_2 $совпадают. Значит и вектора$ (\vec{a}\times\vec{b})_{I} $и$ (\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ равны в смысле длины и направления.
 Случаи вращения вокруг осей  $Ox$  и  $Oy$  доказываются аналогично.
+====Определение правой тройки векторов ====
+Пусть некомпланарные вектора  $\vec{a}, \vec{b}$  и  $\vec{c}$  отложены от одной точки. Тогда:
+  - Упорядоченная тройка векторов  $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$  называется правой, если для наблюдателя, находящегося на конце вектора  $\vec{c}$ , кратчайший поворот вектора  $\vec{a}$  к вектору  $\vec{b}$  виден против часовой стрелки.
+  - Упорядоченная тройка векторов  $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$  называется левой, если для наблюдателя, находящегося на конце вектора  $\vec{c}$ , кратчайший поворот вектора  $\vec{a}$  к вектору  $\vec{b}$  виден по часовой стрелки.
 =====Теорема 2=====
@@ Строка 117: / Строка 122: @@
 При поворотах вокруг осей координат результат векторного произведения не изменяется. Значит, если мы докажем, что в конечной системе координат вектора  $\vec{a}, \vec{b}$  и  $\vec{a}\times\vec{b}$  образуют правую тройку, то и в изначальной системе координат эти вектора образовывали правую тройку, так как это будут те же самые вектора в смысле длин и направлений.
+{{ :math-public:untitled-2.jpg?400|}}
+{{ :math-public:pppuntitled-1.jpg?400|}}
 В новой системе координат вектор  $\vec{a}$  будет иметь координаты  $(x,y,0)$ , а вектор  $\vec{b}$  будет иметь координаты  $(0,t,0)$ .
@@ Строка 130: / Строка 140: @@
 Если  $x<0$ , то  $xt<0$ , а значит вектор  $\vec{c}$  направлен вдоль оси  $Oz$  вниз. Но поскольку кратчайшее вращение вектора  $\vec{a}$  к вектору  $\vec{b}$  теперь происходит в другую сторону, то  $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$  снова образуют правую тройку векторов.