Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:ravenstvo-vektorov [2016/09/06 17:57] – [Доказательство] labreslav
+++ math-public:ravenstvo-vektorov [2016/09/06 18:13] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Равенство векторов=====
+====Определение====
+Векторы называются равными, если их длины равны и они сонаправлены.
+=====Теорема=====
+  - Каждый вектор равен самому себе.
+  - Если вектор $\vec{a}$ равен вектору $\vec{b}$, то вектор $\vec{b}$ равен вектору $\vec{a}$.
+  - Два вектора равные третьему вектору, равны.
+====Доказательство====
+Первые два свойства очевидно вытекают из определения равенства
+векторов.
+Докажем третье свойство.
+Пусть $\vec{a}=\vec{b}$ и $\vec{c}=\vec{b}$.
+Тогда $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ и $\vec{a}\upuparrows \vec{b}$, а также $|\vec{c}|=|\vec{b}|$ и $\vec{c}\upuparrows
+\vec{b}$.
+Из равенства модулей следует, что $|\vec{a}|=|\vec{c}|$.
+А из теоремы \ref{130} вытекает, что $\vec{a}\upuparrows \vec{c}$.
+Поэтому $\vec{a}=\vec{c}$.
+====Теорема====
+Если четырехугольник $ABCD$ -- параллелограмм, то $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
+{{:math-public:129.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Из того, что $ABCD$ параллелограмм следует, что $AB=CD$ и
+$AB\parallel CD$.
+Кроме того лучи $AB$ и $DC$ лежат по одну сторону от прямой $AD$, следовательно вектора
+$\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ сонаправлены и равны по модулю.
+Таким образом $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
+=====Теорема=====
+Если $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, то $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.
+{{:math-public:130.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Из равенства векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$
+следует, что $AB=CD$ и либо $AB\parallel CD$, либо точки $A, B, C, D$ лежат на одной прямой.
+В первом случае, по признаку, четырехугольник $ABDC$ будет являться параллелограммом.
+Следовательно, по теореме $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.
+Во втором случае введем на прямой $AB$ координату $x$. Пусть числа $x_A, x_B, x_C, x_D$ -- координаты точек $A,B,C,D$ соответственно. Тогда условие $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ означает, что выполнено равенство $x_B-x_A=x_D-x_C$.
+{{:math-public:400.jpg?direct&300|}}
+Здесь равенство модулей чисел $x_B-x_A$ и $x_D-x_C$ означает, что $AB=CD$, а совпадение их знаков -- что $\overrightarrow{AB}\upuparrows\overrightarrow{CD}$.
+Но тогда $x_C-x_A=x_D-x_B$, что и означает $\overrightarrow{AC}\upuparrows\overrightarrow{BD}$.