Это старая версия документа!
Теорема 1
Угол между прямой l и плоскостью α можно найти из соотношения sin^(l,α)=|cos^(→nα,→v)|, где →v – направляющий вектор прямой l, а →nα – нормаль к плоскости α.
Теорема 2
Угол между плоскостями α и β можно найти из соотношения cos^(α,β)=|cos^(→nα,→nβ)|, где →nα и →nβ – это нормали к плоскостям α и β соответственно.
Лемма
Пусть даны вектора ненулевые вектора →c, →n. Длина проекции вектора →c на вектор →n вычисляется по формулам
- |Pr→n→c|=||→c|cosφ|
- |Pr→n→c|=|→c⋅→n|→n||
Теорема 3
Расстояние от точки A до плоскости α можно найти по формуле ρ(A,α)=|→c⋅→n|→n||, где →c – произвольный вектор, соединяющий точку A и плоскость α, а →n – нормаль к плоскости α.
Доказательство
Выберем на плоскости α произвольную точку B. Тогда →c=→AB. Пусть φ – это угол между векторами →c и →n.
Ясно, что искомое расстояние – это длина проекции вектора →c на нормаль →n.
Тогда ρ(A,α)=|Pr→n→c|=|→ccosφ|=||→n||→c|cosφ|→n||=|→c⋅→n|→n||
Теорема 4
Расстояние между скрещивающимися прямыми l и m можно найти по формуле ρ(l,m)=|→c⋅→n|→n||, где →c – произвольный вектор, соединяющий данные прямые, а →n перпендикулярен обеим данным прямым.
Доказательство
Построим плоскость α, проходящую через прямую l и параллельную прямой m.
Вектор →n будет нормалью к плоскости α, так как вектор он перпендикулярен обеим прямым.
Ясно, что искомое расстояние – это длина проекции вектора →c на нормаль →n.
Тогда ρ(l,m)=|Pr→n→c|=|→ccosφ|=||→n||→c|cosφ|→n||=|→c⋅→n|→n||