Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:pravilnye-mnogougolniki-shestiugolnik [2016/05/09 10:48] – [Доказательство] labreslav
+++ math-public:pravilnye-mnogougolniki-shestiugolnik [2016/05/09 10:48] (текущий) – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+======Правильный шестиугольник======
+  - $\alpha=120^\circ$.
+  - $R=a$, $r=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
+  - $d_1=2a,\ d_2=a\sqrt{3}$
+  - Малая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.
+  - Противоположные стороны правильного шестиугольника параллельны между собой, а также параллельны большой диагонали.
+  - $S=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
+{{:math:117.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+**1.** $\alpha=\dfrac{180^\circ(6-2)}{6}=120^\circ.$
+**2.** Так как $BO$ и $CO$ -- биссектрисы, то $\angle CBO=\angle BCO=60^\circ.$
+Следовательно, треугольник $BOC$ равносторонний.
+Значит $R=a, r=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
+**3.** $\angle BOC+\angle COD+\angle DOE=3\cdot60^\circ=180^\circ.$
+Следовательно, точки $B, O$ и $E$ лежат на одной прямой, значит $BE$ -- диагональ, и $BE=2R=2a$.
+**4.** Четырёхугольник $OABC$ -- ромб, следовательно, $OB\perp AC$.
+Четырёхугольник $OBCD$ -- ромб, поэтому $BO\parallel CD$.
+Следовательно $AC\perp CD$.
+**5.** $S=6\cdot S_{AOB}=6\cdot\dfrac{1}{2}a^2\sin{60^\circ}=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}.$